摘要：數學可以分成兩大類，一類叫純粹數學，一類叫應用數學。 純粹數學也叫基礎數學，專門研究數學本身的內部規律。中小學課本里介紹的代數、幾何、微積分、概率論知識，都屬于純粹數學。文章發表在《電視技術》上，是數學論文發表范文，供同行參考。

　　關鍵詞：等,不等

　　1.否定特例，排除錯解

　　解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區間的端點是它的相應等式(方程)的解或者是它的定義區間的端點(這里我們把+∞、-∞也看作端點).因此我們可以通過端點的驗證，否定特例，排除錯解，獲得解決問題的啟示.

　　例1　滿足sin(x-π/4)≥1/2的x的集合是().

　　分析：由x=-2不是原不等式的解排除A、C，由x=2是原不等式的一個解排除D，故選B.

　　這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯題，例2有一定的運算量.上面的解法省時省力，但似有“投機取巧”之嫌.選擇題給出了三誤一正的答案，這是問題情景的一部分.而且是重要的一部分.我們利用“等”與“不等”之間的內在聯系，把目光投向解區間的端點，化繁為簡，體現了具體問題具體解決的樸素思想，這種“投機取巧”正是抓住了問題的特征，體現了數學思維的敏捷性和數學地解決問題的機智.在解不等式的解答題中，我們可以用這種方法來探索結果、驗證結果或縮小探索的范圍.

　　例3　解不等式loga(1-1/x)>1.(1996年全國高考試題)

　　分析：原不等式相應的等式--方程loga(1-1/x)=1的解為x=1/(1-a)(a≠1是隱含條件).原不等式的定義域為(1，+∞)∪(-∞，0).當x→+∞或x→-∞時，loga(1-1/x)→0，故解區間的端點只可能是0、1或1/(1-a).當01，可猜測解區間是(1，1/(1-a));當a>1時，1/(1-a)<0，可猜測解區間是(1/(1-a)，0).當然，猜測的時候要結合定義域考慮.

　　上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題后的回顧與檢驗.如果把原題重做一遍視為檢驗，那么一則費時，對考試來說無實用價值，對解題實踐來說也失去檢驗所特有的意義;二則重做一遍往往可能重蹈錯誤思路、錯誤運算程序的復轍，費時而于事無補.因此，抓住端點探索或檢驗不等式的解，是一條實用、有效的解決問題的思路.

　　2.誘導猜想，發現思路

　　當我們證明不等式M≥N(或M>N、M≤N、M

　　例4　設a、b、c為正數且滿足abc=1，試證：1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥3/2.(第36屆IMO第二題)

　　分析：容易猜想到a=b=c=1時，原不等式的等號成立，這時1/a3(b+c)=1/b3(c+a)=1/c3(a+b)=1/2.考慮到“≥”在基本不等式中表現為“和”向“積”的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項配上一個因式，這個因式的值當a=b=c=1時等于1/2，且能通過不等式變換的運算使原不等式的表達式得到簡化.

　　1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥1/a+1/b+1/c-(1/4)[(b+c)/bc+(c+a)/ca+(a+b)/ab]=(1/2)(1/a+1/b+1/c)≥(3/2) =3/2，從而原不等式獲證.

　　這道題看似不難，當年卻使參賽的412名選手中有300人得0分.上述湊等因子的思路源于由等號的成立條件而產生的猜想，使思路變得較為自然，所用的知識是一般高中生所熟知的.再舉二例以說明這種方法有較大的適用范圍.

　　例5　設a，b，c，d是滿足ab+bc+cd+da=1的正實數，求證：a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥1/3.(第31屆IMO備選題)

　　分析：猜想當a=b=c=d=2時M取得最大值，這時M中的4個項都等于3.要求M的最大值，需將M向“≤”的方向進行不等變換，由此可得3 ≤(3+4a+1)/2=2a+2，3 ≤2b+2，3 ≤2c+2，3 ≤2d+2.于是3M≤2(a+b+c+d)+8=24，∴M≤8.當且僅當a=b=c=d時等號成立，所以M的最大值為8.

　　當然，例6利用平方平均數不小于算術平均數是易于求解的，但需要高中數學教材外的知識.利用較少的知識解決較多的問題，是數學自身的追求，而且從教學上考慮，可以更好地培養學生的數學能力.先有猜想，后有設計，再有證法，也是數學地思考問題的基本特征.

　　3.引發矛盾，啟迪探索

　　在利用基本不等式求最大值或最小值時，都必須考慮等號能否取得，這不僅是解題的規范要求，而且往往對問題的解決提供有益的啟示.特別當解題的過程似乎順理成章，但等號成立的條件卻發生矛盾或并不一定成立.這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進一步探索.

　　例7　設a，b∈R+，2a+b=1，則2 -4a2-b2有().

　　A.最大值1/4　B.最小值1/4

　　分析：由4a2+b2≥4ab，得原式≤2 -4ab=-4( )2+2 =-4( -1/4)2+1/4≤1/4.若不對不等變換中等號成立的條件進行研究，似已完成解題任務，而且覺得解題過程頗為自然，但若研究一下等號成立的條件，則出現了矛盾：要使4a2+b2≥4ab中的等號成立，則應有2a=b=1/2，這時 = /4≠1/4，第二個“≤”中的等號不能成立.這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯誤，促使我們另辟解題途徑.事實上，原式=2 -(2a+b)2+4ab=4ab+2 -1，而由1=2a+b≥2 得0< ≤ /4，ab≤1/8，∴原式≤ /2+1/2-1=( -1)/2，故選C.

　　等號不一定成立而啟迪我們對問題進一步探索的典型例子是1997年全國高考(理科)第22題：

　　例8　甲、乙兩地相距S千米(km)，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(km/h).已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a元.

　?、?把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/小時)的函數，并指出這個函數的定義域;

　　Ⅱ.為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛?

　　分析：y=aSv+bSv，v∈(0，c]，由y≥2S 當且僅當aS/v=bSv，即當v= 時等號成立得，當v= 時y有最小值.這是本題的正確答案嗎?那就得考慮v= 是否一定成立.當 ≤c時可以，但 是有可能大于c的.這就引發了我們進行分類討論的動機，同時也獲得分類的標準.

　　綜上所述，“等”是不等式問題中一道特殊的風景，從“等”中尋找問題解決的思路，本質上是特殊化思想在解題中的應用.從教學上看，引導學生注視不等式問題中的“等”，是教會學生發現問題、提出問題，從而分析問題、解決問題的契機.

　　自然科學職稱論文投稿：《電視技術》1977年創刊，由中國電子科技集團公司第三研究所主辦，是國內唯一一本全面介紹有線電視、地面電視、衛星電視和應用電視等整個電視領域技術發展的中央級優秀科技期刊。