摘要：圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。其統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當e>1時為雙曲線，當e=1時為拋物線，當e<1時為橢圓。文章發表在《自然資源學報》上，是數學論文發表范文，供同行參考。

　　關鍵詞：圓錐曲線,綜合問題

　　重點:縱觀近年來高考中圓錐曲線的解答題,基本仍呈現幾何分析與代數解析并重的局面,但對代數解析和代數綜合(如綜合函數、導數、向量、不等式等知識)方面考查的意識似有漸趨“濃厚”的傾向,更加注重解析幾何中通性通法(如“坐標法”、曲線與方程思想)的考查. 這類題型主要涵蓋:動點的軌跡問題,定點、定值的證明問題,最值和相關量的取值范圍問題,向量綜合問題,探索性問題等幾個方面,學習時應以此為重點.

　　難點:如何將幾何問題有效地代數化;含多變量的式子中如何把握變形方向,簡化運算進程;如何綜合運用函數、導數、向量、不等式等知識,并確保運算的準確性.

　　1. 基本思路

　　基本解題思路通常為:①根據題意設出相關點的坐標和曲線的方程;②分析題目中的幾何關系,提取其“本質特征”(等式或不等式);③將該本質特征“坐標化”(即用前面所設點的坐標表示);④聯立方程組并消元成一元二次方程,考慮判別式,由韋達定理求出兩根的和與積;

　　以上為解析幾何的通性常法,以此為基礎才能解決圓錐曲線的綜合問題.

　　2. 基本策略

　　因這類問題大多為直線與圓錐曲線的綜合題,因此具體解題時,大致可按“聯立→消元→判別式→韋達定理→弦長公式→中點坐標公式”的流程進行,為后續題綜合解作準備.

　　設直線y=kx+b與圓錐曲線F(x,y)=0的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則

　　(1)聯立:F(x,y)=0,y=kx+b,即將圓錐曲線方程與直線方程組合成方程組,目的是“瞄”著交點的坐標(即方程組的解).

　　(2)消元:消去y得到關于x的方程ax2+bx+c=0(或消去x得到關于y的方程ay2+by+c=0,通常根據題目的需要或消元的難易程度以決定消去x還是消去y).

　　(1)求p,t的值;

　　(2)求△ABP面積的最大值.

　　思索 本題是圓錐曲線中典型的面積最值問題,解析幾何中解決這類問題的常規手段是函數法,即將面積表示成某一變量的函數,然后用函數、不等式、導數等手段求其最值. 具體分以下三步:首先,選取某個量為主元變量,并考慮其取值范圍(即定義域);其次,將面積表達成該變量的函數(即解析式);最后,對該面積函數求最值.

　　破解 (1)易得p=■,t=1,即拋物線方程C:y2=x,點M(1,1).

　　(2012四川)如圖2,動點M與兩定點A(-1,0),B(2,0)構成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設動點M的軌跡為C.

　　(1)求軌跡C的方程;

　　(2)設直線y=-2x+m與y軸交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且PQ 思索 本題是綜合題中典型的動點軌跡和相關量的取值范圍問題,考查了“坐標法”及方程思想,尤其是將幾何量∠MBA=2∠MAB及■代數化的過程中,充分體現了“轉化”思想. 解析幾何中,將角度轉化為坐標通常有兩種方法,一是用向量夾角公式進行坐標化,二是取正切后轉化為直線的斜率,進而轉化為坐標. 本題中,由于A,B兩點均在x軸上,因此后者更能揭示其“本質特征”. 對于■,直接使用弦長公式即可轉化為有效的坐標關系.

　　破解 (1)設M的坐標為(x,y),則顯然有x>0,且y≠0. 當∠MBA=90°時,點M的坐標為(2,±3);當∠MBA≠90°時,由∠MBA=2∠MAB兩邊取正切易得3x2-y2-3=0. 而點(2,±3)也在曲線3x2-y2-3=0上,綜上可知,軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x>1).

　　1. 歸納題型,注重通法

　　對圓錐曲線綜合題的每種題型及其處理方法都要細細總結,掌握其解題規律,并在頭腦中形成網絡體系,這樣在考試時才能做到胸有成竹,呼之即來.

　　2. 數形結合,關注性質

　　數形結合是解析幾何最明顯的特征,因此,充分挖掘圖形的幾何性質,靈活運用曲線本身的知識(如定義、性質、焦半徑等)往往是解決問題的突破口和簡化運算的關鍵. 比如,涉及圓錐曲線焦半徑時,要靈活運用其定義;涉及圓的問題時,要充分考慮圓的相關幾何性質;對于線圓關系、圓圓關系要強化幾何處理,淡化代數處理.

　　如何發表數學論文：《自然資源學報》1986年創刊，由中國科學技術協會主管，中國自然資源學會主辦的學術刊物，國內外公開發行。