【摘要】空間角是立體幾何中一個重要概念，它是空間圖形的一個突出的量化指標，是空間圖形位置關系的具體體現。解決立體幾何問題的關鍵在于“三定”：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而定量則是定位、定性的深化。在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，故對二面角的平面角的定位是關鍵。文章發表在《數學通報》上，是數學教師發表論文范文，供同行參考。
【關鍵詞】平面角;定性分析;定位作圖;定量計算;點;垂線段;垂平面
二面角的平面角的特征
α、β是由 出發的兩個半平面,O是l上任意一點，OC α，且OC⊥l;CD β，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。
它有如下列特征：
(1)過棱上任意一點，其平面角是唯一的;
(2) 其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直;
另外，若在OC上任取上一點A，作AB⊥OD于B,則由特征(2)知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關系，便得到另一特征;
(3)：體現出三垂線定理(或逆定理)的環境背景。
2二面角的平面角的特征剖析
由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”或“定線(面)”的問題。
特征(1)表明：其平面角的定位可先在棱上取一“點”，但這點必須與問題背景相互溝通，給計算提供方便。
特征(2)指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ與 α、β的交線，則交線所成的角即為α-l-β的平面角，：
由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。
特征(3)顯示：如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，由B作OB⊥l于O，連OA，由三垂線定理可知OA⊥l;或由A作OA⊥l于O，連OB。由三垂線逆定理可知OB⊥l。此時，∠AOB即為二面角α-l-β的平面角。
由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”.
以上三個特征提供的思路在解決具體問題時各具特色，其目標是分別找“點”、“垂面”、“垂線段”。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而至.掌握這種關系對提高解題技能和培養空間想象力非常重要。
3二面角的平面角的定位分析
[例1]：已知E是矩形ABCD邊CD的中點，且，CD=2，BC=1，現沿AE將△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C兩點的距離相等，求二面角D′-BC-A的大小。
解析：取AE中點P，BC中點Q.則可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，
∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
經計算得：∠D′QP= 23
找“點”，由定義確定二面角的平面角。
[例2]：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線AC把△ABC折起，使點B在平面ADC內的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
解析：這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關鍵在于搞清折疊前后“變”與“不變”。
在平面圖形中過B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，則折疊后OB、OE與AC的垂直關系不變.但OB與OE此時變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱AC垂直。由特征(2)知，面BOE與面BAC、面DAC的交線OB與OE所成的角∠BOE，即為所求二面角的平面角。
另外，點B在面DAC上的射影必在OE所在的直線上，又題設射影落在AD上,所以E點就是B′點，這樣的定位給下面的定量提供了便捷條件。
經計算：OB=AB·BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO·CDAD=2720 ，
在Rt△BEO中，設∠BOE=θ ，則cos θ=OEOB=916，
∵0°<θ<180° ，∴θ=arccos916 ，
即所求二面角B-AC-D為arccos916 ，
通過對[例2]的定性分析、定位作圖和定量計算，由特征(2)從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，可以把構成二面角的兩個半平面“擺平”，依題目條件，在棱上選取一適當的垂線段，即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相呼映，不僅便于定性、定位，更利于定量。
由“垂線段”定位二面角的平面角。
[例3]：已知 二面角α-a-β為 ，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA=8cm，PB=10cm.求P點到a的距離。
解析：過PA 、PB作平面γ，分別與α、β交于AO、BO，
由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，a β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，
∵AO ，BO ，∴a⊥AO， a⊥BO，
∴∠AOB為二面角α-a-β的平面角，即∠AOB=120°，
連PO，由PO，得a⊥PO.∴PO的長為P點到a的距離。
經計算：AO =43 (cm)，PO=PA2+AO2=82+(43)2=47 (cm).
由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
[例4]：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為2，E為BC的中點.求面B′D′E與面BB′C′C所成的二面角的大小。
解析：面B′D′E與面BB′C′C構成兩個二面角，由特征(2)知，這兩個二面角的大小必定互補.通過特征(3),我們只須由C′ (或D′)作B′E的垂線交B′E于H，然后連結HD′ (或HC′),即得面B′D′E與面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂線定理)。
經計算可得：H′C′=455 ，在Rt△D′C′H中， ∠D′HC′=D′C′H′C′ =52，
故所求的二面角角為arctan52 或π-arctan52 .
二面角的三個特征，雖然客觀存在，互相聯系，但在許多問題中卻很難通過直觀圖反映出來，這就需要我們培養良好的空間思維想象能力，正確定位。
[例5]：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，求截面AD1E與底面ABCD所成角的正切值。
解析：圖中截面AD1E與底面ABCD只給出一個公共點，沒有直接反映出二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個公共點.通過補形作出棱，進而再求二面角的大小。
延長DC、D1E交于F，連AF，得截面AD1E與底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，過C作CH⊥AF于H，連EH，
∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF(三垂線定理)
∴∠ EHC即為所求截面AD1E與底面ABCD所成二面角的平面角.
可設正方體棱長為a，經計算得：EC=CG=a2 ，CF=a，GF=52a ，CH= ，55a
∴tan∠ EHC=ECCH=52，
即所求二面角的正切值為52.
[另]：△D1FA在底面ABCD的射影是△DFA，
S△DFA=12DF×DA=a2 ，又D1A=2，S△D1FA =12D1A×322a=32a2，
由射影面積法，所求角(記為 θ)的余弦值為cosθ=S△DFAS△D1FA=23，
則所求二面角的正切值為52 。
[另]：還可用向量法求二面角的平面角。
定位是為了定量，二面角的計算是通過其平面角所在的三角形計算而得.而作平面角也是由其基本定義出發，在棱上找一點，在半平面內找一點，或在二面角內找一點，從這點出發作棱的垂線或垂面而得。如果二面角的棱在圖中沒有出現，可采取補形等辦法作出二面角的棱。
綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在其正確其定義的基礎上，掌握其三個基本特征，并靈活運用它們考察問題的環境背景，建立良好的空間思維，以不變應萬變。
數學教師發表論文須知：《數學通報》是由中國數學會和北京師范大學合辦的、以中等學校數學教師為主要服務對象的數學教育刊物。《數學通報》初創時的刊名叫《數學雜志》，1936年8月1日在上海正式出版，是我國第一份全國性的數學普及刊物。因抗日戰爭和解放戰爭，1939年至1950年被迫停刊。1951年11月復刊，改名為《中國數學雜志》，毛主席親自題寫了刊名，1953年更名為《數學通報》，請郭沫若題寫了刊名。1966年因“文化大革命”停刊，1979年7月復刊至今。
