在目前有關數(shù)學問題以及教學技術的新管理發(fā)展模式有哪些呢，要如何來促進現(xiàn)在教學新技術應用呢?本文是一篇教學技術論文。傳統(tǒng)的教學模式比較重視基礎知識教學，基本技能訓練，數(shù)學計算、推理和空間想象能力的培養(yǎng)，而不重視學生實踐能力的培養(yǎng)和實際操作的訓練，致使學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學問題，不能把所學的數(shù)學知識應用到實際問題中去，對所學數(shù)學知識的實際背景了解不多。

　　摘要：20世紀80年代以來，問題解決已成為國際數(shù)學教育的一種潮流。由于它的研究與開發(fā)不僅關系到如何提高學生的科學文化素質、思想品德素質和教學質量問題，而且也與中小學數(shù)學教學內容、課程設置、教材教法、教學模式等各項改革密切相關，是一個領域廣闊的研究陣地，所以受到國內外許多研究機構、專家、學者及廣大教師的普遍關注。

　　關鍵詞：數(shù)學問題,教學管理,教學論文范例

　　對于什么是問題解決，也有一些不同的觀點和看法。1988年發(fā)表的美國《21世紀的數(shù)學基礎》認為，問題解決是把前面學到的知識用到新的和不熟悉的情境中的過程，而學習數(shù)學的主要目的在于問題解決。最近20年來，世界上幾乎所有的國家都把提高學生的問題解決能力作為數(shù)學教學的主要目的之一。英國1982年的Cockcroft 報告認為問題解決是那種把數(shù)學用之于各種情況的能力，并針對當時英國教育界的情況，呼吁教師要把“問題解決”的活動形式看作教或學的類型，看作課程論的重要組成部分而不應當將其看成課程附加的東西。不論是教學過程，還是教學目的，也不論是教學方法，還是教學內容，作為國際數(shù)學教育的核心和數(shù)學教育改革的一種新趨勢，數(shù)學問題解決已成為當前數(shù)學教育研究的重要課題。

　　數(shù)學論文：《數(shù)學通訊》，《數(shù)學通訊》中等數(shù)學教育專業(yè)刊物。以探討提高中等學校數(shù)學教學質量、改革數(shù)學教學為宗旨。交流教學經(jīng)驗，發(fā)表質量較高的重點課題的教案，對高中數(shù)學教學中的重點、難點以及高考命題的熱點進行分析，對學生學習過程中存在的疑義或難以理解的問題進行分析和解答。

　　一、數(shù)學問題

　　對于什么是數(shù)學問題，雖然目前尚無統(tǒng)一看法，但大體說來，它有以下特點：一是非常規(guī)性;二是重視情境應用，給出一種情境，一種實際需求，以克服一種現(xiàn)實困難為標志;三是探究性。[1]從歷史角度來看，正是問題的提出、探究和解決，推動了數(shù)學科學的不斷發(fā)展。從某種意義上來說，數(shù)學發(fā)展的歷史，就是數(shù)學問題的提出和解決的歷史。

　　(一)數(shù)學問題的形成、來源及其在數(shù)學歷史進程中的重要作用

　　數(shù)學是研究客觀世界的數(shù)量關系和空間形式的科學，正如恩格斯所說：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系，所以是非常現(xiàn)實的材料。”當人們與客觀世界產生接觸，從數(shù)量關系或空間形式的角度反映出認識與客觀世界的矛盾時，就形成了問題。以數(shù)學為內容，或者雖不以數(shù)學為內容，但必須運用數(shù)學概念、理論或方法才能解決的問題稱為數(shù)學問題。希爾伯特在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上以“數(shù)學問題”為題發(fā)表演講時說：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力;而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或中止。正如人類的每項事業(yè)都追求著確定的目標一樣，數(shù)學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點，達到更為廣闊和自由的境界。”

　　由于數(shù)學問題包含著有關數(shù)學的疑問因素和未知方面，所以，在數(shù)學的學習和研究中，對已有的數(shù)學概念或結論產生疑問，或者對數(shù)學的未知領域進行探索時，都會提出一些不同問題。但是，教學中所要解決的并不是那些尚未解決的數(shù)學問題，而是前人已有的數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)。只有提出問題，讓學生明了產生問題的情境，才能引起學生有目的的思考。正是由于學生把特定的數(shù)學問題確定為自己努力攻克的方向，才能使思維活動以一定的方法、在一定的范圍內進行，才能激發(fā)學生的創(chuàng)造熱情，不斷沖擊頭腦中舊有的認知結構，不斷構建新的認知結構。

　　數(shù)學問題來源于人類的生產、生活實踐，來源于人們了解自然、認識自然的科技活動。古代巴比倫人在觀測天文、丈量土地和進行貿易中形成了位值觀念和六十進制數(shù)系，并發(fā)現(xiàn)了大量數(shù)表、計算方法以及包括解一元二次方程在內的許多數(shù)學問題。早在公元前5世紀，古希臘人就已經(jīng)形成后來被稱為幾何三大作圖問題的倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。成書于公元1世紀前后的《九章算術》，集古代數(shù)學問題之大成，記載了我國古代勞動人民在生產、生活和社會活動中形成的各種數(shù)學問題246個?！毒耪滤阈g》是我國古代傳統(tǒng)數(shù)學中具有最深遠影響的一部著作，它反映出我國古代數(shù)學是怎樣從實際生活中分析出數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，又怎樣從研究具體的數(shù)學問題入手，通過抽象與歸納而得到解決問題的數(shù)學方法的。

　　縱觀數(shù)學的發(fā)展歷史，可以看到數(shù)學問題在數(shù)學的歷史進程中的重要作用。它既是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的起點，又是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的路標;它既有數(shù)學發(fā)展的探索和導向作用，又可以為數(shù)學理論的形成積累必要的資料;它既可以導致數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和理論的創(chuàng)新，又可以激發(fā)人們的創(chuàng)造和進取精神。

　　(二)數(shù)學問題的類型及其數(shù)學教育價值

　　由數(shù)學問題的形成和來源可以看到，數(shù)學問題種類繁多，但用于“數(shù)學問題解決”教學的問題大致有以下三種，它們具有不同的教育價值和功能。

　　1.可以構建數(shù)學模型的非常規(guī)的實際問題。21世紀是信息化的時代，是現(xiàn)代科技迅速發(fā)展的知識經(jīng)濟時代。隨著數(shù)學和科學技術的飛速發(fā)展以及電子計算機和網(wǎng)絡技術的廣泛使用，科學技術數(shù)學化的進程日益加速。任何科學技術要實現(xiàn)數(shù)學化，都必須首先把研究對象用數(shù)學語言和方法表述為具有一定結構的數(shù)學體系，即建立有關研究對象的數(shù)學模型，這是科學技術數(shù)學化的關鍵。數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。數(shù)學問題要能夠給學生提供嘗試建立數(shù)學模型的機會，讓學生根據(jù)觀察和實驗的結果，嘗試運用數(shù)學思想以及歸納、類比的方法得出猜想，然后再進行證明。將生活、生產等社會活動中發(fā)現(xiàn)的實際問題抽取出來，通過構建數(shù)學模型，化實際問題為數(shù)學問題，然后應用數(shù)學思想或方法來解決問題，這是人們認識世界的重要途徑。非常規(guī)的問題往往不是純數(shù)學化的問題模式，而是一種情境，一種實際需求，只是為了克服實際碰到的困難。因此，要培養(yǎng)適應知識經(jīng)濟社會需要的高素質、創(chuàng)造型人才，就要進行數(shù)學建模的訓練。培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力，是學好數(shù)學、用好數(shù)學的重要保障，也是基礎教育不可或缺的任務之一。“義務教育階段的數(shù)學課程，其基本出發(fā)點是促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學自身的特點，更應遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”[2](1)

　　2.探究性問題。通過一定的探索、研究去深入了解和認識數(shù)學對象的性質，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和真理的問題叫做探究性問題。這里，對于對象之間的數(shù)量關系、圖形性質及其變化規(guī)律，數(shù)學公式、法則、命題、定理等的探索和發(fā)現(xiàn)，雖然只是對前人工作的一種重復和再發(fā)現(xiàn)，但知識形成、發(fā)展過程的意義則被學習者重新建構。“數(shù)學學習過程充滿著觀察、實驗、模擬、推斷等探索性和挑戰(zhàn)性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學方式，引導學生投入到探索與交流的學習活動之中。”[2](65)數(shù)學命題的發(fā)現(xiàn)就是一個探索的過程。例如，在學習了三角形內角和定理后，教師可以讓學生通過觀察和實驗去探索四邊形、五邊形，六邊形等多邊形的內角和問題，然后通過歸納得到多邊形內角和定理。通過探究，不僅可以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，科學探索精神，而且可以使學生在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，從而建立自信心，這對于培養(yǎng)學生形成完整的獨立人格具有重要的作用。

　　3.開放性問題。《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》在第三學段教材編寫建議中寫道：教材可以“提供一些開放性(在問題的條件、結論、解題策略或應用等方面具有一定的開放程度)的問題，使學生在探索的過程中進一步理解所學的知識”。[2](93)開放性問題旨在培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性，因而也有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識。例如，在△ABC 中，三邊a、b、c成等差數(shù)列，由此可得哪些結果?這是一個結論開放的問題，由三邊成等差數(shù)列，聯(lián)系三角形的有關定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面積公式以及其他三角、幾何定理公式，可得到許多結果，諸如sin A +sin C =2sin B ，等等。[1](197)通過對這個問題的探討，不僅復習鞏固了所學知識，將多學科的許多不同思想方法都聯(lián)系到了一起，而且充分表現(xiàn)了思維的多向性、靈活性和創(chuàng)造性。

　　二、數(shù)學問題的設計原則

　　如前所述，問題解決中的“問題”主要是指那些非常規(guī)性的或者條件不充分、結論不確定的開放性、探究性問題。“問題”常常給出聯(lián)系實際的情境，主體必須要將它數(shù)學化，并且必須探究解決問題的策略(數(shù)學方法)。數(shù)學問題的設計是數(shù)學問題解決教學的基礎。要使問題解決教學取得良好成效，必須預先將問題設計好。好的數(shù)學問題應當具有較強的探索性，它要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)新精神;具有現(xiàn)實意義或與學生的實際生活有著直接的聯(lián)系，具有趣味性和魅力;具有多種不同的解法或有多種可能的解答，即開放性;能推廣或擴充到各種情形。[3]數(shù)學問題除了應具備以上特點，在設計時還要遵循以下原則。

　　1.可行性原則。在設計數(shù)學問題時，教師首先要細致地鉆研教材，研究學生的思維發(fā)展規(guī)律和知識水平，提出既有一定難度又是學生力所能及的問題，也就是說，要選擇在學生能力的“最近發(fā)展區(qū)”內的問題。學生的第一發(fā)展水平和第二發(fā)展水平之間存在著差異。教師應走在學生發(fā)展的前面，創(chuàng)造“最近發(fā)展區(qū)”，并注意適時、適度創(chuàng)設實際情境，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力;根據(jù)學生年齡特點、學生已有的認知結構、教材及學生的生活實際，設計適當?shù)臄?shù)學問題。這些問題既能有效地激發(fā)學生的求知欲望，又能使學生積極主動地去尋求解決問題的策略，并通過一定的努力或小組討論、探究，最后歸納出具有一般規(guī)律性的結果。例如，在初中階段，學生學習了圓的有關性質以后，可以設計一道關于找圓心的問題。給學生一張上面畫有一個圓的紙，提出問題：我們怎樣確定這個圓的圓心?學生通過實際操作，可以用許多不同的方法獲得答案。其中用到的數(shù)學知識有“半圓上的圓周角是直角”的定理，“弦的垂直平分線通過圓心”的性質，等等。[2](185)在小學高年級，甚至在中學階段，可以將“六角星”問題，即“如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12這些數(shù)填在六角星中各條線段的交點上，使每條線上四個數(shù)字之和都等于26”提供給學生進行探究。“六角星”問題是一個寓教于樂、數(shù)形結合的典型的開放性問題，并可進行不同的條件變化，得到許許多多不同的解。[4]

　　2.漸進性原則。漸進性原則要求問題設計要有層次性，要由淺入深，由易到難。人類認識數(shù)學對象的過程，是一個漸進過程，是從認識最簡單的對象開始，逐步發(fā)展到對數(shù)學對象之間的相互關系及它們的內部結構的認識。人們對于數(shù)學問題的認識，如同對數(shù)學對象的認識一樣，也是一個漸進的過程。因此，在數(shù)學問題的設計中就要遵循由淺入深，由易到難，有層次、循序漸進的原則，使學生在問題的探究中不斷獲得成功，逐步樹立起學好數(shù)學的自信心，培養(yǎng)勇于探索、敢于攀登的精神。如當學生觀察下面這些等式：1·2·3·4+1=?，2·3·4·5+1=?，3·4·5·6+1=?，4·5·6·7+1=?時可以發(fā)現(xiàn)，它們分別等于5，11，19，29的平方。這時可以提出問題：“從這些等式中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?”當學生通過探索發(fā)現(xiàn)并提出一種歸納猜想時，可以進一步提出證明猜想的問題。然后，再進一步讓學生觀察類似的問題：1·3·5·7+16=?，3·5·7·9+16=?，5·7·9·11+16=?，7·9·11·13+16=?……能不能提出類似的猜想?進而，從等差數(shù)列的角度，能否再提出幾個類似的問題?最后，能否把上面這些問題的共同規(guī)律找出來?這樣，根據(jù)由淺入深、由易到難、循序漸進的原則，依次提出問題，逐步展開問題的探究，不僅可以把學生的探究活動步步引向深入，而且還可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。

　　3.應用性原則。隨著數(shù)學的發(fā)展，它的應用越來越廣泛，世界各國的數(shù)學教育也越來越強調數(shù)學的應用，這是當前國際數(shù)學教育的重要動向。各國都在數(shù)學課程中增加現(xiàn)代數(shù)學中具有廣泛應用性的內容，注重從生活實際和學生知識背景中提出問題，結合生活中的具體實例進行數(shù)學知識的教學，增強課堂教學中的實踐環(huán)節(jié)，重視培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識和用數(shù)學的能力，使學生能主動嘗試用數(shù)學知識和思想方法尋求解決問題的途徑。在數(shù)學問題的設計中，要考慮能將數(shù)學思想方法和數(shù)學模型用于探究所提出的問題。義務教育階段的數(shù)學課程，特別強調學生用數(shù)學的意識的培養(yǎng)。“應用意識主要表現(xiàn)在：認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量的數(shù)學信息、數(shù)學在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用;面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略;面對新的數(shù)學知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應用價值。”[2](5)例如，在學生已經(jīng)掌握三角形中邊角關系及平面上周角的有關知識后，可給出這樣的問題：“有若干個城市，它們之間的距離彼此互不相等。如果從每個城市都起飛一架飛機到離該城市最近的城市降落。證明：每個城市降落的飛機都不超過五架。”這個問題可以通過構造平面幾何模型，應用簡單的幾何知識得到解決。[5]

　　三、數(shù)學問題解決及其教學

　　如前所述，由于數(shù)學問題來源于人類的生產、生活實踐，來源于人們了解自然、認識自然的科技活動，一般來說，它是非常規(guī)的、由情境給出的一種實際需求，并且具有一定的探究性。因此，數(shù)學問題的解決一般要通過以下幾個過程來實現(xiàn)。

　　1.分析問題背景，尋找數(shù)學聯(lián)系。通過對所給問題的分析，理解問題背景的意義，從中找出它們與哪些數(shù)學知識有聯(lián)系，以便建立有關的數(shù)學模型，使實際問題數(shù)學化，從而使非常規(guī)問題轉化為常規(guī)問題來解決。在這個過程中，要充分發(fā)揮學生的積極主動性，必要時可以讓學生分組開展討論，以集體的力量和智慧攻克難關。分析問題的步驟非常重要，萬事開頭難，只要攻破了這一關，學生就會信心倍增，就會以更高的熱情投入到后面問題的探討中去。在學生自主分析的同時，教師可在關鍵處給以必要的指導和點撥，以控制教學的進度，提高課堂教學效率。

　　2.建立數(shù)學模型。在分析的基礎上，將實際問題符號化并確定其中的關系，進而寫出由這些符號和關系所確定的數(shù)學聯(lián)系，用具體的代數(shù)式、函數(shù)式、方程式、不等式或相關的圖形、圖表等把這些數(shù)學聯(lián)系確定下來，就形成了數(shù)學模型。在建立數(shù)學模型的時候，可要求學生獨立完成，因為前面的分析過程，已經(jīng)使問題明朗化，一般情況下學生都可以獨立完成數(shù)學建模任務。對于有困難的學生，也可以通過小組討論來完成這一工作。

　　3.求解數(shù)學問題。根據(jù)數(shù)學模型的特征，可采用適當?shù)臄?shù)學思想、方法和數(shù)學知識，對數(shù)學模型進行求解。這里主要強調學生用數(shù)學的意識的培養(yǎng)和形成。一般情況下，只要數(shù)學模型建立起來以后，學生自然會去聯(lián)想已學過的數(shù)學知識和熟悉的數(shù)學思想方法，通過推理和演算，達到問題的解決。

　　4.檢驗。將數(shù)學問題的求解結果返回到實際問題中去進行檢驗，看它是否與實際問題的情形相吻合，從而決定是否要修改模型或另辟途徑。

　　5.交流和評價。在學生進行研討、解決問題的過程中，教師要通過巡回觀察及時了解和掌握學生的學習進度，對于有困難的學生及時給予必要的指導，也可以作為學生的伙伴和助手，參加到學生的探究活動中去。在多數(shù)學生完成任務以后，可組織學生進行交流，然后對各種模型進行評價。學生通過交流、評價，進一步完善各自的模型，同時也達到互相學習、取長補短、共同提高的目的。

　　6.推廣。如果問題得到了解決，看它是否可以進行推廣。如果解決過的問題是一個具體問題，就可引導學生通過歸納、類比和猜測，得到普遍的結論，然后再證明這個結論。例如，在學生學習過二次函數(shù)求最大(小)值及等差數(shù)列的有關知識后，可設計這樣一個實際問題：一幢33層的大樓有一部電梯停在第1層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對于每個人來說，他往下走一層樓梯不滿意度是1，往上走一層樓梯不滿意度是3?，F(xiàn)在32人打算下到第1層且他們分別住在第2層至第33層的每一層。如果你是一名電梯管理員，請你確定將電梯停在哪一層可以使這32人的不滿意度達到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓。)

　　在解決此問題的基礎上，可推到一般情形n層樓時。

　　數(shù)學問題解決教學是通過創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的求知欲望，使學生親身體驗和感受分析問題、解決問題的全過程。它強調使用數(shù)學的意識，培養(yǎng)學生的探索精神、合作意識和實際操作能力。通過問題解決能使學生對數(shù)學知識形成深刻的、結構化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，而且產生更為濃厚的學習數(shù)學的興趣、形成認真求知的科學態(tài)度和勇于進取的堅定信念。由于問題解決教學是近年來受到廣泛重視的一種教學模式，它強調把學習設置到復雜的、有意義的問題情境中，通過讓學習者合作解決實際問題來學習隱含于問題背后的科學知識，形成解決問題的技能，并形成自主學習的能力。[6]所以，問題解決教學是通過高水平的思維來進行學習，來建構知識的。

　　學生機械地模擬一些常見數(shù)學問題解法的能力較強，而當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。在中小學數(shù)學課程中體現(xiàn)問題解決的思想，在課堂教學中采用問題解決的教學模式，為克服上述問題開辟了一條有效的途徑。應當看到，在解決來自實際和數(shù)學內部的數(shù)學問題中，問題解決的過程和方法是基本相同的。不僅如此，這種過程和方法與解決一般的、其他學科中問題的過程和方法有很多共同之處。在數(shù)學問題解決中學習的過程和方法可以遷移到其他學科的問題解決過程中。因而通過數(shù)學問題解決，可以較快地教給學生一般的問題解決的過程和思想方法，從而提高學生的綜合素質和能力。

　　在數(shù)學問題解決的教學過程中，既要注重發(fā)揮學生的主體作用，又要重視教師主導作用的發(fā)揮，二者相輔相成，不可偏廢。特別是在講到探索、猜想、發(fā)現(xiàn)方面的問題時要側重于“教”;有時候可以直接教給學生完整的猜想過程，有時候則要較多地啟發(fā)、誘導和點撥。因此，在一些典型的數(shù)學問題解決教學中，教給學生比較完整的解決實際問題的過程和常用方法，以提高學生解決實際問題的能力，應引起廣大數(shù)學教師的高度重視。