摘要：本文講述了幾種類型的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，主要以除數(shù)為質(zhì)數(shù)舉例簡單分析了其循環(huán)節(jié)奇妙現(xiàn)象的內(nèi)在原因，發(fā)掘了循環(huán)小數(shù)更多的趣味性。

　　1、循環(huán)小數(shù)

　　1、1循環(huán)小數(shù)的產(chǎn)生

　　循環(huán)小數(shù)是由一個被除數(shù)除以一個除數(shù)，其余數(shù)永遠(yuǎn)不為零時，便會產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)。在所有的除數(shù)當(dāng)中，任可不帶循環(huán)節(jié)的數(shù)除以都不會產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)，而當(dāng)除數(shù)為2時，其得數(shù)與乘以5以后再除以10是一樣的，同樣，當(dāng)除數(shù)為5時，其得數(shù)與乘以2以后再除以10相同，這兩種情況也不會產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)。在10進(jìn)制中，除了的因數(shù)(例如2、5、4、等)之外的除數(shù)，都會產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)。

　　1.2循環(huán)節(jié)

　　把一個真分?jǐn)?shù)a/b(0

　　2、 循環(huán)節(jié)與其被除數(shù)的關(guān)系

　　2.1在討論循環(huán)節(jié)與其被除數(shù)關(guān)系之前，先讓我做一下說明，任何一個十進(jìn)制數(shù)C,都可以表示為(C-1)后邊跟以9為循環(huán)節(jié)的形式，例如，2可以為化為1.循環(huán)小數(shù)的形式，0.17可化為1.76循環(huán)小數(shù)的形式。請讓我把這種形式暫時定義為數(shù)字的動態(tài)形式。從極限的角度看是成立的。

　　2.2循環(huán)節(jié)的位數(shù)及個數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)a/b中質(zhì)數(shù)b有關(guān)，所有的十進(jìn)制數(shù)a都可化成循環(huán)節(jié)為9的循環(huán)小數(shù)，在計算過程中,先計算1/b的情況，且把平常補0的形式改成以補9的形式進(jìn)行計算，于是不難看出，循環(huán)節(jié)的位數(shù)最多為b-1位，即有b-1位9組成的數(shù)字是b與其產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)的乘積。在a/b化小數(shù)的計算過程中，所得的循環(huán)節(jié)a乘以由1/b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)即可得到。例：1/3小數(shù)點后第一位9就能被3整除，循環(huán)節(jié)為3，2/3的循環(huán)節(jié)為2*3=6。所以當(dāng)b為3時，在余數(shù)后補一個9就能產(chǎn)生一個一位的循環(huán)節(jié)了，b為11時，兩個99就能產(chǎn)生一個二位數(shù)的循環(huán)節(jié)，當(dāng)b為41時，小數(shù)點后補5個9就能產(chǎn)生一個循環(huán)節(jié)了。當(dāng)b為一個質(zhì)數(shù)時，若t個9就能產(chǎn)生一個循環(huán)節(jié)，即b 為t 位9組成的數(shù)的一個因數(shù)，b能產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)有(b-1)/t個，每個循環(huán)節(jié)的位數(shù)為t位。

　　3、循環(huán)節(jié)的奇妙性質(zhì)

　　3.1在a/b中，b為質(zhì)數(shù)，a為從1到(b-1)中的任意整數(shù)，且a+d=b，那么由余數(shù)為a時產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)與余數(shù)為d時產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)之和為由9組成的數(shù)。例①：1/3的循環(huán)節(jié)3與2/3的循環(huán)節(jié)6之和為9。例②：1/11的循環(huán)節(jié)與10/11的循環(huán)節(jié)09與90是同一個循環(huán)節(jié)的兩個形式，也就是說1/11化小數(shù)的過程中出現(xiàn)了余數(shù)為10的情況，10=11-1，那么這個循環(huán)節(jié)自身前后兩部份之和也為9組成的數(shù)，0+9=9。例③：1/7產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為142857，而6/7產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為857142，那么142857+857142=999999，實際上1/7與6/7產(chǎn)生的環(huán)是相同的，都是142857，因為在1/7化小數(shù)的過程中也出現(xiàn)了余數(shù)6的情況。例④：1/41與40/41的循環(huán)節(jié)分別為02439、97560，相加后為99999，如果在同一個循環(huán)節(jié)里前后兩部份和為由9組成的數(shù)字時，人們稱為半九律，而相同除數(shù)下產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)中，某循環(huán)節(jié)與別的循環(huán)節(jié)也會出現(xiàn)這種相加為9組成的數(shù)字，請暫時允許我稱著它和九律，把半九律和它和九律現(xiàn)象統(tǒng)稱為合九律。

　　3.2在a/b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)中，從循環(huán)節(jié)上的某位數(shù)字開始，依次用后一位數(shù)字減去前一位數(shù)字的結(jié)果會形成互為相反的兩組數(shù)。這種情況可能在本個循環(huán)節(jié)里出現(xiàn)，也許出現(xiàn)在d/b中，且a+d=b 。⑴：以1/17為例，其循環(huán)節(jié)為0588235294117647，依次用循環(huán)節(jié)上的后一位數(shù)減去前一位數(shù)：5-0=+5 8-5=+3 8-8=0 2-8=-6 3-2=+1 5-3=+2 2-5=-3 9-2=+7;4-9=-5 1-4=-3 1-1=0 7-1=+6 6-7=-1 4-6=-2 7-4=+3 0-7=-7，前半部份與后半部份剛好形成相反數(shù)字關(guān)系。⑵：以41為例，能產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)有8個，每個有5位數(shù)字，即：02439、04878、07313、09756、12195、14634、26829、36585。以b為1與b為40時產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)02439與97560為例，把02439+97560=99999，且2-0=+2、4-2=+2、3-4=-1、9-3=+6、0-9=-9，而7-9=-2、5-7=-2、6-5=+1、0-6=-6、9-0=+9。前一個循環(huán)節(jié)計算后的結(jié)果與后一個循環(huán)節(jié)計算后的結(jié)果是兩組符號相反的數(shù)。(3)：質(zhì)數(shù)3產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)同樣具有以上規(guī)律，1/3的循環(huán)節(jié)為3，而2/3的循環(huán)節(jié)為6，3+6=9，3-3=6-6=0。

　　以上這種情況都是由于3.1中合九律的原因，以1/7的循環(huán)節(jié)142857為例，其中4-1=3與(9-4)-(9-1)去括號后為9-4-9+1=-(4-1),只是符號相反了，但是可以看出循環(huán)小數(shù)美麗的另一面。

　　4、循環(huán)節(jié)奇妙的本質(zhì)

　　4.1在進(jìn)行a/b化小數(shù)的計算中，若有余數(shù)為(b-a)時，若把商增加1，則出現(xiàn)的余數(shù)為-a，把這個增加的1以0.

　　后用相應(yīng)位數(shù)的9減去除數(shù)為a時已求出的商數(shù)的相應(yīng)數(shù)字就是后邊的商的數(shù)字。以1/7為例，當(dāng)計算到余數(shù)為2時補0商2余6，若是商3則余數(shù)為-1，運用數(shù)字的動態(tài)形式再把3改成2.的形式再計算，那用相應(yīng)的999-142=857，所以142+857=999。這種現(xiàn)象有人定義為半9律，像1/7這樣的情況從1到6，即從1到(b-1)都全參與了，則其產(chǎn)生的循壞節(jié)位數(shù)為b-1位，并且前半部分與后半部分?jǐn)?shù)字的和為(b-1)/2位9組成的數(shù)。如果在a/b化小數(shù)的計算過程中不會出現(xiàn)余數(shù)為(b-a)的情況，則產(chǎn)生的所有環(huán)都不會有半9律的現(xiàn)象。如果在a/b化小數(shù)的計算過程中，其循環(huán)節(jié)為t位，而不是(b-1)位，并且每個循環(huán)節(jié)本身都沒有半9律的現(xiàn)象，則a/b與(b-a)/b產(chǎn)生的兩個循環(huán)節(jié)相應(yīng)的按順序相加為t位9組成的得數(shù)。

　　4.2在a/b化小數(shù)的計算過程中，如果其循環(huán)節(jié)位數(shù)為(b-1)，則把所有不重復(fù)的余數(shù)相加即從1加到(b-1)和為(b-1)*b/2,如果其循環(huán)節(jié)位數(shù)為t，則把參加產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的余數(shù)相加和為m個b,m為整數(shù)，并且a/b化小數(shù)中參加產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的余數(shù)之和為m*b,那么(b-a)/b中參加產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的余數(shù)和為(t-m)個b 。

　　4.3在1/b化小數(shù)的計算過程中，如果其循環(huán)節(jié)為t位，則(b-1)/b的循環(huán)節(jié)位數(shù)也一定為t位，從1到(b-1)被除數(shù)的分別計算所得的循環(huán)節(jié)的位數(shù)不會超過被除數(shù)為(b-1)的循環(huán)節(jié)位數(shù)，也不會少于被除數(shù)為1的循環(huán)節(jié)的位數(shù)，故都為t位，且t只能為(b-1)的一個因數(shù)。這種情況也是由于b是t位9組成的數(shù)的一個因數(shù)的原因。

　　參考文獻(xiàn)：潘承洞 潘承彪 初等數(shù)論[M] 北京大學(xué)出版社 1993 135-138