“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)兩大基本概念，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是一種模式轉(zhuǎn)換為另一種模式[1]，教師開(kāi)展數(shù)形結(jié)合教學(xué)有助于學(xué)生利用已知探索未知。數(shù)形可視化不限于數(shù)學(xué)學(xué)科，也適用于多學(xué)科整合。教師引導(dǎo)學(xué)生掌握“數(shù)”“形”概念，有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力。筆者結(jié)合數(shù)學(xué)和音樂(lè)教學(xué)實(shí)踐介紹數(shù)形可視化的應(yīng)用。

　　一、認(rèn)識(shí)數(shù)形可視化

　　(一)數(shù)形可視化的定義和演化過(guò)程

　　數(shù)形可視化是利用信息技術(shù)將抽象概念轉(zhuǎn)換成數(shù)形圖像，幫助學(xué)習(xí)者直觀感知，使抽象問(wèn)題具體化、繁雜文字?jǐn)?shù)據(jù)條理化，進(jìn)而解決問(wèn)題的過(guò)程[2]。具體來(lái)講，它是運(yùn)用軟件和技術(shù)，以學(xué)習(xí)者為中心，按照認(rèn)知規(guī)律，將對(duì)數(shù)字的感知、認(rèn)知、想象、推理及其發(fā)展變化過(guò)程，轉(zhuǎn)換為可視化資源，幫助學(xué)習(xí)者有效學(xué)習(xí)的方式。

　　筆者從數(shù)形分化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)形可視化三個(gè)階段闡述數(shù)形可視化的演化過(guò)程。其一，從數(shù)形分化來(lái)看，教師基于現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)與形的抽象，用數(shù)和形解釋當(dāng)前所看到的現(xiàn)象或者問(wèn)題，用數(shù)來(lái)表征概念，用形來(lái)重組概念，分別發(fā)揮其不同作用，幫助學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)世界。其二，從數(shù)形結(jié)合來(lái)看，將數(shù)與形的特點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合，用原有的數(shù)、形的抽象概念解釋現(xiàn)象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)將抽象概念具體化、簡(jiǎn)單化，發(fā)揮數(shù)之“以數(shù)助形”和形之“以形解數(shù)”的作用，并且數(shù)與形是雙向可逆的。其三，從數(shù)形可視化來(lái)看，充分利用信息技術(shù)支撐，以學(xué)生為中心，根據(jù)認(rèn)知規(guī)律，用數(shù)字化圖像可視化表征數(shù)形結(jié)合，讓轉(zhuǎn)化者和使用者更加直觀地理解數(shù)與形表達(dá)的抽象概念，有效學(xué)習(xí)、深入理解。

　　(二)數(shù)形可視化的特點(diǎn)

　　數(shù)形結(jié)合，力求“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”，堅(jiān)持“利、逆、高”的發(fā)展理念，以適應(yīng)智能化教與學(xué)的變革。利，就是有利轉(zhuǎn)換，通過(guò)信息技術(shù)、智能化、軟件呈現(xiàn)等，降低學(xué)習(xí)者認(rèn)知成本。逆，就是可逆轉(zhuǎn)換，通過(guò)交互與可逆轉(zhuǎn)換，呈現(xiàn)認(rèn)知最佳點(diǎn)，幫助學(xué)習(xí)者有效學(xué)習(xí)、有效歸納。高，就是高度可視化和高度提煉，不論是理論到實(shí)踐的化歸，還是實(shí)踐到理論的提煉，高度轉(zhuǎn)換就能降低學(xué)習(xí)成本、認(rèn)知成本和制作成本。

　　(三)數(shù)形可視化的類型

　　目前，軟件工具趨于模板化、智能化、操作簡(jiǎn)單化，有利于使用者掌握，實(shí)現(xiàn)數(shù)形可視化。數(shù)形可視化分為兩類：一類為抽象到具體的正向轉(zhuǎn)化;另一類為具體到抽象的逆向化歸。正向轉(zhuǎn)化包括“文字和數(shù)據(jù)可視化”“思維與推理過(guò)程可視化”“抽象問(wèn)題具體化”等。在開(kāi)展文字意境理解、定理推論證明、技能實(shí)操演示等教學(xué)時(shí)，教師可通過(guò)可視化(呈現(xiàn))，幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，解決問(wèn)題。逆向化歸包括“思想統(tǒng)籌”“數(shù)據(jù)整理”“結(jié)論化歸”等。在開(kāi)展數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、觀點(diǎn)宏觀提煉等教學(xué)時(shí)，教師通過(guò)合理的分析與提煉，幫助學(xué)生更好歸納內(nèi)化。正向轉(zhuǎn)化與逆向化歸并不孤立，二者相輔相成，緊密圍繞有利轉(zhuǎn)換和最佳呈現(xiàn)，為“減負(fù)”與“提效”服務(wù)。

　　二、設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與教學(xué)策略

　　(一)數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

　　數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)遵循表達(dá)準(zhǔn)確、轉(zhuǎn)換精確、重點(diǎn)清晰、體貼和諧四項(xiàng)原則。所謂表達(dá)準(zhǔn)確，就是數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供理解每階段內(nèi)容學(xué)習(xí)所需的前后聯(lián)系元素，將文字、數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的可視化，確保知識(shí)表達(dá)的準(zhǔn)確性。為何強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)換精確，因?yàn)殡p向轉(zhuǎn)換存在誤差，轉(zhuǎn)換準(zhǔn)確率的高低決定了“減負(fù)率”，也決定了“學(xué)與教”效率的高低。數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)做到有利轉(zhuǎn)換與精確轉(zhuǎn)換。雙向轉(zhuǎn)換表達(dá)要清晰，特別是重點(diǎn)或要點(diǎn)，言簡(jiǎn)意賅、清晰表達(dá)，能快速引導(dǎo)學(xué)生的注意力集中到最重要的知識(shí)點(diǎn)上，減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān)，數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)與選材應(yīng)當(dāng)小而精，盡量以單一重點(diǎn)或要點(diǎn)為背景，這就是重點(diǎn)清晰準(zhǔn)則。數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)以學(xué)生為中心，以學(xué)習(xí)認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)并不針對(duì)個(gè)體，而是充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)訴求，進(jìn)行引導(dǎo)，使交互更友好、更普適，這就是體貼和諧準(zhǔn)則。

　　(二)數(shù)形可視化的教學(xué)策略

　　數(shù)形可視化的應(yīng)用必定基于庫(kù)的建設(shè)。庫(kù)，需要學(xué)習(xí)者與教學(xué)者或研究者(以下合稱教研者)共同建構(gòu)，需要集體的同化與順應(yīng)，需要互聯(lián)網(wǎng)、軟件和技術(shù)智能化的支持。教研者創(chuàng)建數(shù)形可視化云端，學(xué)習(xí)者在紙上(或設(shè)備上)完成作品后，可通過(guò)設(shè)備掃描，上傳至云端。教研者下載作品至PC端，借助軟件與技術(shù)，作可視化或抽象化處理，反饋到學(xué)習(xí)者，并積累入庫(kù)。庫(kù)與庫(kù)之間，共創(chuàng)、共生、共享、共贏，服務(wù)于教學(xué)。入庫(kù)后，任何時(shí)段，學(xué)習(xí)者或教研者都可鏈接庫(kù)，檢索(如“凸多邊形外角和”“正三角形內(nèi)任意點(diǎn)到三邊的距離和等于正三角形的高的證明”“T檢驗(yàn)”“演唱技巧”等)，即可調(diào)用資源，進(jìn)行教研或?qū)W習(xí)。

　　當(dāng)庫(kù)滿足學(xué)習(xí)者需求，學(xué)習(xí)者只需通過(guò)設(shè)備與網(wǎng)絡(luò)，訪問(wèn)庫(kù)，檢索關(guān)鍵詞，選擇適當(dāng)資源，即可個(gè)性化學(xué)習(xí);如庫(kù)暫時(shí)無(wú)法滿足需求，可通過(guò)尋求教研者幫助，共建庫(kù)，以滿足學(xué)習(xí)者需求，共享共贏。通過(guò)庫(kù)與庫(kù)的鏈接，構(gòu)建更大庫(kù)，擴(kuò)大資源數(shù)量與覆蓋面。學(xué)習(xí)者可為教研者，教研者可為學(xué)習(xí)者，相輔相成，共建共生。

　　三、數(shù)形可視化典型案例與效果分析

　　(一)凸多邊形外角和360°的證明

　　筆者通過(guò)實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形可視化，利用Geogebra軟件，呈現(xiàn)三角形、四邊形、五邊形、六邊形等凸多邊形的外角(可隨意改變多邊形的邊長(zhǎng)與形狀)，利用函數(shù)，顯示多邊形每個(gè)外角的度數(shù)以及求和結(jié)果。筆者設(shè)置可控制條，拉動(dòng)多邊形外角的邊(可逆，往外或往內(nèi))，逐步將多邊形拉緊，直到多邊形變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，多邊形外角和形成一個(gè)周角360°(如圖1)。筆者借助軟件進(jìn)行直觀演示，引發(fā)學(xué)生思考：“凸多邊形外角和是否都是360°?”

　　學(xué)生這是通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察，猜想：多邊形的外角和等于360°。筆者接下來(lái)給出它的數(shù)學(xué)證明，讓學(xué)生明白“凸多邊形外角和360°”本質(zhì)上是三角形的內(nèi)角和等于180°，多邊形與圓有著密切的聯(lián)系。

　　凸n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。凸n邊形每一條邊都存在1個(gè)內(nèi)角和1個(gè)外角，且該內(nèi)角和外角組成平角(180°)。

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