張來平山f 鄧小剛 M 張涵信 2

　　1空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽(yáng) 621∞0

　　2 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，綿陽(yáng) 621儀)()

　　摘 要對(duì)應(yīng)用于飛行器非定常運(yùn)動(dòng)的數(shù)值計(jì)算方法(包括動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)和相應(yīng)的數(shù)值離散格式)進(jìn)行了綜 述.根據(jù)網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不同，重點(diǎn)論述了基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法和基于非結(jié)構(gòu)/混合阿格的非定常 計(jì)算方法，比較了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn).在基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法中，重點(diǎn)介紹了剛性運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)、 超限插值動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)、重疊動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)、滑移動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)等動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成方法，同時(shí)介紹了慣性系和非慣性系下的控制方程，討論了非定常時(shí)間離散方法、動(dòng)網(wǎng)格計(jì)算的幾何守恒律等問題.在基于非結(jié)構(gòu)/混合同 格的非定常計(jì)算方法中，重點(diǎn)介紹了重疊非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)、重構(gòu)非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)、變形非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)以及變形/重構(gòu)稿合動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格技術(shù)等方法，以及相應(yīng)的計(jì)算格式，包括非定常時(shí)間離散、幾何守恒律計(jì)算 方法、可壓縮和不可壓縮非定常流動(dòng)的計(jì)算方法、各種加速收斂技術(shù)等.在介紹國(guó)內(nèi)外進(jìn)展的同時(shí)，介紹了作 者在動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成技術(shù)和相應(yīng)的非定常方法方面的研究與應(yīng)用工作.

　　關(guān)鍵詞：中級(jí)職稱論文,非定常運(yùn)動(dòng),動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù),非定常計(jì)算方法

　　1 引言

　　對(duì)速度、機(jī)動(dòng)性與效率的追求，一直主導(dǎo)著軍 事飛行器的發(fā)展.無論是未來的戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈， 還是新一代的戰(zhàn)斗機(jī)，都需要具備良好的機(jī)動(dòng)性 和敏捷性，尤其要求在快速機(jī)動(dòng)時(shí)，能夠利用流動(dòng) 特征對(duì)飛行器實(shí)施高效的主動(dòng)控制.為了實(shí)現(xiàn)飛 行器的可控快速機(jī)動(dòng)，首先必須弄清飛行器的動(dòng) 態(tài)氣動(dòng)特性，以及與這些動(dòng)態(tài)特性相對(duì)應(yīng)的非定 常流動(dòng)機(jī)理

　　從飛行器的運(yùn)動(dòng)方式和流動(dòng)特征來看，非定 常流動(dòng)問題可以分為以下 3 類: (1) 物體靜止而 流動(dòng)本身為非定常的流動(dòng)問題，如大攻角飛行的 細(xì)長(zhǎng)體背風(fēng)區(qū)的分離流動(dòng)等; (2) 單個(gè)物體作剛性 運(yùn)動(dòng)的非定常流動(dòng)問題，如飛行器的俯仰、搖滾及 其藕合運(yùn)動(dòng)等 j (3) 多體作相對(duì)運(yùn)動(dòng)或變形運(yùn)動(dòng)的 非定常問題，如子母彈分離、飛機(jī)外掛物投放、機(jī) 翼的氣動(dòng)彈性振動(dòng)、魚類的擺動(dòng)、昆蟲和鳥類的撲 動(dòng)等等.

　　收稿日期 :2∞9-9-4，修回日期:2010-4-23

　　解決以上非定常問題的有效途徑之一是計(jì)算 流體力學(xué) (CFD). 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展， CFD 己經(jīng)成為一種有效的流動(dòng)機(jī)理分析和氣動(dòng)設(shè) 計(jì)手段.但是，對(duì)于上述的非定常流動(dòng)問題，高效 高精度的非定常計(jì)算方法仍然是當(dāng)今 CFD 研究 的熱點(diǎn)和難點(diǎn).

　　為了有效地開展非定常計(jì)算方法的研究，本 文對(duì)當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的非定常計(jì)算方法(包括網(wǎng)格技 術(shù)和相應(yīng)的非定常計(jì)算格式)進(jìn)行了綜述.根據(jù)網(wǎng) 格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和混合網(wǎng)格) 的不同，將非定常計(jì)算方法分為兩大類，即基于結(jié) 構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法和基于非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng) 格的非定常計(jì)算方法.在評(píng)述過程中，同時(shí)介紹 了一些作者在非定常計(jì)算方法方面的研究及應(yīng)用 工作.

　　2 非定常計(jì)算方法的分類

　　非定常計(jì)算方法可以按多種方式進(jìn)行分類，

　　·國(guó)家自然科學(xué)基金 (108η023) 和國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃 (2∞9CB72擁02) 資助項(xiàng)目

　　t E-mail: zha噸lp..c町dc@126.∞m

　　第 4 期 張米平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 425

　　例如按時(shí)間離散方法，可以分為 :顯示 Runge-Kutta 方法、單時(shí)間步法、雙時(shí)間步方法、隱式迭代法等 ; 再比如，按照選取的坐標(biāo)系的不同，可以分為慣性 系下的非定常計(jì)算方法和非慣性系下的非定常計(jì) 算方法.本文以計(jì)算方法采用的網(wǎng)格技術(shù)為基礎(chǔ)， 對(duì)非定常計(jì)算方法進(jìn)行分類，因?yàn)榛诓煌木W(wǎng) 格技術(shù)，需要采用不同的數(shù)值計(jì)算方法.

　　眾所周知，數(shù)值計(jì)算的第 1 步是生成合適的 計(jì)算網(wǎng)格，即用合適的計(jì)算網(wǎng)格離散流場(chǎng).就目前 國(guó)內(nèi)外的網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展情況來看[習(xí)，網(wǎng)格生成技 術(shù)大致可以分為 3 類，即結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和 混合網(wǎng)格.混合網(wǎng)格綜合了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng) 格的優(yōu)勢(shì)，代表了當(dāng)前和未來網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展的趨 勢(shì) (2) 就基于溫合網(wǎng)格的計(jì)算方法而言，目前大多 將混合網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的形式進(jìn) 行整體處理這樣使得整個(gè)流場(chǎng)的計(jì)算方法統(tǒng)一， 便于程序設(shè)計(jì)和調(diào)試.因此，就非定常計(jì)算方法而 言，將其細(xì)分為兩大類，即:

　　(1) 基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法;

　　(2) 基于非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法.

　　3 基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法

　　3.1 適用于非定常計(jì)算的結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù) 根據(jù)非定常運(yùn)動(dòng)方式的不同，可以采用不同

　　的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格.對(duì)于前述的第 1 類非定常問題，即物 體靜止而流動(dòng)本身為非定常的流動(dòng)問題，靜止的 剛性網(wǎng)格就可以滿足要求當(dāng)然，由于所面對(duì)的 外形越來越復(fù)雜，傳統(tǒng)的統(tǒng) 一貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格(四­ fìed body-fìtted grids) 已無法生成合適的網(wǎng)格，為此 CFD 工作者發(fā)展了多塊對(duì)接結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 (multiblock structured grids) [3，4J 、多塊搭接結(jié)構(gòu)網(wǎng)格(patched structured grids)[5，6] 和重疊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù) (overlap­ pingjchimera structured grids) [7，8) 等.

　　對(duì)于第 2 類非定常問題，仍然可以采用剛性 網(wǎng)格.根據(jù)坐標(biāo)系選取方式的不同，可以采用慣性 系和非慣性系兩種方法進(jìn)行非定常計(jì)算.對(duì)于第 3 類非定常問題，涉及到物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或變形，因 此必須在每個(gè)時(shí)間步更新網(wǎng)格，由此動(dòng)網(wǎng)格生成 技術(shù)成為非定常計(jì)算的關(guān)鍵技術(shù)之一，而且它是 實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用中最主要的"瓶頸"問題.目前，剛 性運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù) [9，10) 、超限插值(transfìnite inter­ polation) 動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù) [ll 14J 、重疊結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格

　　技術(shù) [15 18] 、滑移結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)[19，20J 是幾種常 用的方法.

　　3.1.1 剛性運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù) 剛性運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)的基本思想是令計(jì)算網(wǎng)格

　　隨物體一起作剛體運(yùn)動(dòng).這一方法的優(yōu)點(diǎn)是:在整 個(gè)非定常運(yùn)動(dòng)過程中，計(jì)算網(wǎng)格無須重新生成，可 以根據(jù)運(yùn)動(dòng)方式直接給出，因此其計(jì)算量小，并可 保持初始網(wǎng)格的質(zhì)量.但是，這種方法僅適用于單 個(gè)剛性物體的非定常運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變形體或者多體 的相對(duì)運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜問題，這種方法已經(jīng)不再適用. 另一方面，由于網(wǎng)格隨體運(yùn)動(dòng)，使遠(yuǎn)場(chǎng)邊界的位移 和速度很大，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)場(chǎng)邊界的處理不易.因此 這種方法在簡(jiǎn)單外形的非定常運(yùn)動(dòng)數(shù)值模擬中采 用得較多 [9，lJO

　　3.1.2 超限插值動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù) 超限插值動(dòng)網(wǎng)格生成方法的基本思想是令外

　　邊界保持靜止，物面邊界由物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律或運(yùn)動(dòng) 方程得到，內(nèi)場(chǎng)網(wǎng)格由超限插值的方法代數(shù)生成， 其計(jì)算量也較小，能夠生成相對(duì)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格， 但不易保證網(wǎng)格品質(zhì)，尤其是不能保證物面網(wǎng)格 的正交性為此，文獻(xiàn) [14] 提出了一種加權(quán)技術(shù)將 剛性運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)和超限插值動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)結(jié)合起 來，實(shí)現(xiàn)了飛船等外形的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成.

　　加權(quán)超限插值動(dòng)網(wǎng)格生成方法的基本思路是: 首先，由初始網(wǎng)格 xn 生成剛性運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格 xmf1，再 由 η 時(shí)刻的開邊界和 n+1 時(shí)刻的物面邊界代數(shù) 插值得到 n+1 時(shí)刻的網(wǎng)格 xren ，最后由兩者加權(quán) 得到新時(shí)刻的動(dòng)網(wǎng)格

　　xn+1 = (1-ω)xrefl +ωxref2，0 ω 三 1 (1)

　　只要適當(dāng)選擇加權(quán)因子 ω，就既可保證物面 附近網(wǎng)格質(zhì)量，義可使外邊界保持靜止而易于邊 界處理.文獻(xiàn) [14] 構(gòu)造了如下的加權(quán)因子，網(wǎng)格生 成實(shí)例表明效果較好.令 j 為法向網(wǎng)格指標(biāo)，則有

　　3.1.3 重疊結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)

　　重疊網(wǎng)格技術(shù)始見于 1983 年 Steg町等 [7] 的 開創(chuàng)性 E作.重番網(wǎng)格技術(shù)的基本思想是在計(jì)算 域的各個(gè)子域采用阿域(亙疊部分)共享的方法來 實(shí)現(xiàn)信息交 換，而不是 采用邊界共享的方法 ，從而 大大減輕了子域網(wǎng)格生成的難度，而且能夠保證 子域的網(wǎng)格品質(zhì).重疊網(wǎng)格技術(shù)在復(fù)雜外形的數(shù) 值模擬中己經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用 [8]

　　由于重疊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格在處理簡(jiǎn)單的單體組合構(gòu) 刑方面的優(yōu)勢(shì)，其被許多 CFD 工作者推廣應(yīng)用 于多體分離非非定常問題的數(shù)值模擬 .例如在美 國(guó)國(guó)防部資助的外掛物投放 ACFD CHANLLENG I"，-，IV 項(xiàng)日中，許多參與該項(xiàng)日的研究人員采用了 重替 網(wǎng)格技術(shù) [15，16J 在其他方面，也 有很好 的重 疊網(wǎng)格的應(yīng)用實(shí)例 [17，叫在國(guó)內(nèi)，張玉東等[21]利 用重疊結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)數(shù)值模擬了子母彈分離過

　　和;李亭鶴 r.r; [22J 利用多塊豆費(fèi)結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)和 準(zhǔn)定常計(jì)算方法，數(shù)值模擬了子母彈拋殼過秤:，楊 明智 [23] 等利用豆替結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格數(shù)值模擬了直升

　　機(jī)外掛物投放的過和.國(guó) 2 顯示了文獻(xiàn) [23] 中采 用的直升機(jī)、懸翼和外掛物的重疊網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 和l直升機(jī)周 圍的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格.

　　盡管重疊結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)在實(shí)際工和應(yīng)用中得到了廣泛應(yīng)用，也取得了巨大的成功. 但是?

　　;在非定常運(yùn)動(dòng)的每一新的時(shí)間層上，重疊網(wǎng)格不

　　僅需要更新各子域的網(wǎng)格而且還需要對(duì)于域的 重香阪網(wǎng)格進(jìn)行插值平 n更新，從而導(dǎo)致計(jì)算量增 大.對(duì)于流場(chǎng)中存在強(qiáng)間斷的問題，如果強(qiáng)間斷 穿越豆疊慶，則會(huì)導(dǎo)致子域邊界間的插值誤差， 由此影響到非定常問 題的計(jì) 算精度.這種插值誤 差 的長(zhǎng)時(shí)間積累將導(dǎo)致非定常 計(jì)算誤差的進(jìn) 一步 放大.

　　第 4 期 張米平等功網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 427

　　國(guó) 2 重疊結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格生成豆豆例 [231

　　3.1.4 滑移結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù) 由于重疊網(wǎng)格需要在每個(gè)時(shí)間層內(nèi)的子選代

　　中進(jìn)行重疊阪插值，而且在每個(gè)時(shí)間層之間，需

　　要重新搜尋插值關(guān)系，一方面會(huì)帶來插值誤 差，另 一方面由于搜尋插值關(guān)系，也會(huì)降低計(jì)算效率.為

　　此， CFD 工作基于搭接結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù)，發(fā)展了搭 接結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，即所謂滑移結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù) ， 目前在一些大型 CFD 軟件中集成了這種網(wǎng)格技

　　術(shù)[凹，201

　　滑移結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)的基本思想是在運(yùn)動(dòng)部 件的運(yùn)動(dòng)軌跡周圍預(yù)先劃分出一個(gè)滑移子域.在 滑移子域和以外的區(qū)域分別生成多塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 j 在滑移子域與其他區(qū)域的交界面處?利用搭接邊 界條件與其他|天域?qū)訌亩鴮?shí)現(xiàn)整體流場(chǎng)的計(jì) 算.滑移網(wǎng)格技術(shù)在旋轉(zhuǎn)部件(如發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)流、直 升機(jī)懸翼、螺旋槳等)、列車交會(huì)、列車過隧道等問 題中應(yīng)用廣泛.國(guó) 3 顯示了從文獻(xiàn) [19J 中摘錄的滑 移結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格實(shí)例.

　　國(guó) 3 消移結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格頭'例 [191

　　3.2 基于結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格的非定常計(jì)算格式

　　3.2.1 非慣性系卡的非定常計(jì)算方法

　　正如 3.1 節(jié)中所述，征剛性結(jié)構(gòu)網(wǎng)格卡，可以 采用不同的參考坐標(biāo)系描述控制流動(dòng)方和. 如果 為了消除動(dòng)網(wǎng)格計(jì)算所帶來的諸多問題(如兒何 守恒率、動(dòng)邊界條件等)，可以采用非慣性系卡的 流動(dòng)方和. 例如，對(duì)于俯仰運(yùn)動(dòng)問題，假設(shè)坐標(biāo)系 繞 z 軸在俯仰平面內(nèi)作單自由度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，角速

　　度矢量為 ω(t) = -f2k ，記 V 為流場(chǎng)中某 一點(diǎn)的絕 對(duì)速度(在慣性坐標(biāo)系卡觀察的速度)， Vr 為 該點(diǎn) 相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系(國(guó)連在運(yùn)動(dòng)的物體上隨物體 一

　　起轉(zhuǎn)動(dòng))的速度 ，r 為該點(diǎn)到動(dòng)坐標(biāo)系原 點(diǎn)的向徑

　　(見國(guó) 4) ，應(yīng)有V= Vr 十 ω X r . 經(jīng)過不復(fù)雜的推 導(dǎo)，就可以得到俯仰運(yùn)動(dòng) 非慣性笛卡兒坐標(biāo)系 下 以 (ρ，Ur ，Vr ，Wr， p) T 為原始變量 的三維非定常無量 綱化的 Navier-Stokes 方和

　　θQ ， θE θFθG 一一一一一一一 θt ' θX δY θz

　　1 (θEv θF v θGv \ ，

　　Re∞ \θX θν l θz ) ， - (4)

　　上式中各物理量的具體表達(dá)式可以參見文獻(xiàn) [14]，

　　。

　　其中的 S 是岡為坐標(biāo)變換而 引入的源項(xiàng)

　　ρ( f22x - 2 f2vr - f2ν)

　　8 = 1ρ。( f22y + 2 f2ur + βX) I (5)

　　ρ[ f22(XU r + YVr ) + 口(XVr -yur)J

　　利用非慣性系的流動(dòng) 方程，可以降低計(jì)算對(duì)

　　動(dòng)網(wǎng)格的依賴性，傳 統(tǒng) 的定常流網(wǎng)格生成方法可

　　428

　　力 學(xué) 進(jìn) 展

　　2010 年第 40 卷

　　以直接應(yīng)用于生成非慣性系的非定常計(jì)算網(wǎng)格. 但是，這種方法具有較大的局限性.第一，在非慣 性系下的方程非常復(fù)雜，尤其是在考慮多自由度 運(yùn)動(dòng)的情況下會(huì)更加復(fù)雜;第二，在非慣性系下的 邊界條件的實(shí)現(xiàn)，同樣必須進(jìn)行嚴(yán)格的坐標(biāo)系變

　　化的三維非定常 Navier-Stokes 方程可寫成如下守 恒形式

　　一-一-一一一

　　θ(J-1.Q) ， θtt-OS' ，。。­

　　，

　　θt θ'{ .旬 'θ〈

　　1 I θE制。F.， θG.，

　　換，形式復(fù)雜;第三，對(duì)于源項(xiàng)的處理是一個(gè)需要

　　Re \茍:..+茍:..+寫:")

　　(8)

　　研究的問題，處理得不好將影響計(jì)算的收斂效率; 第四，非慣性系下得到的計(jì)算結(jié)果需要經(jīng)過繁瑣 的坐標(biāo)變化轉(zhuǎn)換到慣性系 F進(jìn)行流場(chǎng)顯示，帶來 諸多不便;第五，對(duì)于多體分離問題或變形運(yùn)動(dòng)問

　　題，該方法難以滿足要求.鑒于上述問題，目前國(guó)

　　值得注意的是，在動(dòng)網(wǎng)格非定常計(jì)算中，變換中必 須保留時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即

　　p9

　　p9u +kxp

　　際上通行的非定常計(jì)算方法絕大部分均采用慣性 系下的流動(dòng)控制方程進(jìn)行計(jì)算.

　　F = ktQ + kxE +k1lF + kzG=

　　ρ9v +k1lP

　　ρ0ω +kzp

　　ρ9h - ktp

　　Yo

　　V∞

　　一一+

　　zO z

　　αt: 平衡攻角

　　8(t): 俯仰振蕩角

　　V=Vr +ω xr

　　α=αt + 8(t)

　　z

　　Fv = kxEv +k1lFv + kzGv =

　　o

　　kxTxx +k1lTX 1l +kzTxz kX T1IX +k1lT1I1I +kzT1Iz

　　。

　　kxTzx + k1lTz1l +kzTzz kxßx +k1lt馬 +kzßz

　　= kt + kxu +k1lv +kzω = kx (u - Xt) +

　　(9a)

　　(9b)

　　怡，y ，z): 非慣性坐標(biāo)系

　　(xo，YO ，zo): 慣性坐標(biāo)系

　　圖 4 俯仰運(yùn)動(dòng)非慣性坐標(biāo)系統(tǒng)的定義

　　k1l (v - Yt) +kz (ω - Zt)

　　關(guān)于其中符號(hào)的含義可以參見文獻(xiàn) [14).

　　3.2.3 非定常計(jì)算的時(shí)間離散方法

　　(10)

　　3.2.2 慣性系下的非定常計(jì)算方法 在慣性笛卡爾坐標(biāo)系中，無量綱化的 三維非

　　定常 Navier-Stokes 方程可寫成如下守恒形式

　　- -ô-E+ F+-一ôG =

　　δQ. δ

　　ôt-. + θ'x .-ô-y . ôz

　　1 (δEv . ôF" . δGv 飛

　　Re∞飛 θx ' ôy ， θZ ) (6)

　　在貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上進(jìn)行計(jì)算，需要進(jìn)行貼體坐標(biāo) 變換，在動(dòng)網(wǎng)格計(jì)算中，一般引入如下與時(shí)間相關(guān) 的變換

　　(7)

　　e = e(x，y，z; t.) l η=η(x，y ，z; t.) I ç = Ç(x，y ，z;t.) J

　　將物理平面中的運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格轉(zhuǎn)換至計(jì)算平面中的正 交靜止網(wǎng)格.則在一般靜止曲線坐標(biāo)系中，無量綱

　　非定常計(jì)算的空間離散方法，與定態(tài)網(wǎng)格情 況 F的計(jì)算方法類似，唯一的不同之處是 :在動(dòng)網(wǎng) 格情況下，對(duì)流通量項(xiàng)中多出了網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，即式 (10)中的問，協(xié)和 Zt. 由于網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)項(xiàng)的出現(xiàn)，要 求在動(dòng)網(wǎng)格情況下保持幾何守恒率，該問題將在 3.2.4節(jié)中討論.

　　非定常計(jì)算除了關(guān)注空間離散精度外，還要

　　重點(diǎn)關(guān)注時(shí)間項(xiàng)的離散方法.時(shí)間方向的精確離 散，才有可能得到精確的非定常計(jì)算結(jié)果.另一方 面，因?yàn)榉嵌ǔ栴}的計(jì)算量要比定常問題的計(jì) 算量高 1"，，2 個(gè)量級(jí)，非定常計(jì)算的效率也是普遍 關(guān)注的問題.因此，時(shí)間項(xiàng)的離散就顯得尤其重要.

　　關(guān)于非定常計(jì)算的時(shí)間離散方法，大致可以分為如下幾種:顯式時(shí)間推進(jìn) [24l ，雙時(shí)間步隱式 迭代推進(jìn) [25l ，單時(shí)間步隱式法代推進(jìn)[26] ，通量 分裂隱式迭代推進(jìn) [14] 以及半隱半顯時(shí)間推進(jìn)方

　　法 [27] 等.

　　第 4 期 張來平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 429

　　J-l +J-1 -'" - .''''

　　守恒方程 (8) 經(jīng)空間離散后，可寫成如下半離 散形式

　　方程 (15)左端引入虛擬時(shí)間 (1') 的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，得到

　　θ(J-IQ)

　　，âQ ， T_，3Q_4Qn+Qn-l ，

　　述混合網(wǎng)格技術(shù)推廣應(yīng)用于非定常流動(dòng)的計(jì)算.

　　與結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格類似，將非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和混合網(wǎng) 格推廣應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)物體非定常運(yùn)動(dòng)的方法主要有: 重疊非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù) [37，381，重構(gòu)非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格 技術(shù) l39，40l ，變形非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)[41~47!，以及變 形/重構(gòu)混合網(wǎng)格生成技術(shù)問 50J 等.當(dāng)然，如果 利用非慣性系下的方程，計(jì)算網(wǎng)格可以采用剛性 網(wǎng)格，這與結(jié)構(gòu)網(wǎng)格類似，這里不再重述.

　　4.1.1重疊非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)

　　正如 3.1.3 節(jié)中所述，重疊網(wǎng)格方法最先在 結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中得到應(yīng)用. 然而這種方法在網(wǎng)格間 信息傳遞方面的欠缺始終得不到有效解決 首 先 Chimera-hole 需要在每一個(gè)網(wǎng)格區(qū)域進(jìn)行切 割，不可避免地要破壞物面邊界或者外圍不需要 切割的網(wǎng)格;其次插值需要建立在重疊網(wǎng)格洞邊界 (chimera-hole)的每一個(gè)邊界點(diǎn)上.這些"挖洞"過 程中存在的問題影響了結(jié)構(gòu)重疊網(wǎng)格的適用范圍.

　　432 力 學(xué) 進(jìn) 展

　　2010 年第 40 卷

　　非結(jié)構(gòu)重疊網(wǎng)格的出現(xiàn)有效地解決了上述問 題.通過使用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，覆蓋流動(dòng)區(qū)域所需要的 子網(wǎng)格數(shù)目可以大大減少，而且很容易將該方法 推廣到處理有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的多體繞流問題下面介 紹 N幽hashi 等問提出來的在非結(jié)構(gòu)重疊動(dòng)網(wǎng) 格中用重疊網(wǎng)格邊界定義 (intergrid-boundarγdef­ inition) 技術(shù)進(jìn)行數(shù)值傳遞的方法.該方法中子網(wǎng) 格間的數(shù)值傳遞，主要包括兩個(gè)步驟:

　　(1) 網(wǎng)格"挖洞"該步驟首先將每個(gè)子網(wǎng)格中 的所有節(jié)點(diǎn)分為兩類:活動(dòng)節(jié)點(diǎn)和非活動(dòng)節(jié)點(diǎn)，主

　　網(wǎng)格(背景網(wǎng)格)的重疊區(qū)內(nèi)邊界則由最靠近非活

　　動(dòng)節(jié)點(diǎn)的活動(dòng)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成.所謂"活動(dòng)"是指在非定 常計(jì)算中需要計(jì)算的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn);而"非活動(dòng)"是指 與另外的網(wǎng)格域重疊而無需計(jì)算的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，這 部分節(jié)點(diǎn)可以被"挖"去.而用來區(qū)分是否被挖去

　　的判據(jù)，則是"距壁面的最小距離飛具體方法是: 首先計(jì)算包涵某部件的子網(wǎng)格域內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)到該 部件表面的距離缸，和該節(jié)點(diǎn)到背景網(wǎng)格中部件

　　表面的距離 d2，比較二者的大小，將更靠近子網(wǎng)格 部件表面的網(wǎng)格點(diǎn)作為活動(dòng)節(jié)點(diǎn) (dl < d2). 如圖

　　5 所示，虛線表示包涵部件 A 的子網(wǎng)格域，其中點(diǎn)

　　t 距 A 表面的距離較 B 近，因此節(jié)點(diǎn) 4 為活動(dòng)節(jié) 點(diǎn)參與計(jì)算;而節(jié)點(diǎn) j 則相反，屬于非活動(dòng)節(jié)點(diǎn) 圖 6 '"圖 8 則是根據(jù)這一判據(jù)所得到的網(wǎng)格. 由于分離物體在很短的時(shí)間步內(nèi)只運(yùn)動(dòng)很小的距 離，每一個(gè)網(wǎng)格可能只運(yùn)動(dòng)到鄰近的三、四層網(wǎng) 格位置，因此在建立起每一時(shí)間步內(nèi)關(guān)于節(jié)點(diǎn)的 八叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)后，可以使用 N-T-N (neighbor­

　　to-neighbor) 查找技術(shù)快速確立網(wǎng)格之間的聯(lián)

　　系 [37，叫.

　　國(guó) 5 洞邊界搜尋與插值盡意圖

　　國(guó) 7 背景網(wǎng)格中 的活動(dòng)部分

　　國(guó) 6 背景網(wǎng)格與子網(wǎng)格

　　國(guó) 8 子網(wǎng)格中的活動(dòng)部分

　　第 4 期 張來平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 433

　　(2) 數(shù)據(jù)插值.在第 1 步中確定了運(yùn)動(dòng)子網(wǎng)格 域的邊界點(diǎn)與背景網(wǎng)格域的聯(lián)系后，通過背景網(wǎng) 格重疊區(qū)域的活動(dòng)網(wǎng)格得到子網(wǎng)格"外"邊界上 的物理值，反之亦然.

　　雖然重疊非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格具有比重疊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 更好的適應(yīng)性，但是其仍然需要在每一個(gè)時(shí)間步 進(jìn)行數(shù)據(jù)插值，因此不可避免地會(huì)帶來誤差 ，這對(duì) 長(zhǎng)時(shí)間的非定常計(jì)算同樣是不利的.

　　4.1.2 重構(gòu)非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)

　　"重構(gòu)" (static-regridding) 非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格生成 技術(shù)，即在每個(gè)時(shí)間步重新生成一次網(wǎng)格.其優(yōu)點(diǎn) 是: (1) 概念簡(jiǎn)單 (2) 容易處理大變形或大位移

　　問題.其缺點(diǎn)是: (1) 每一步都需要插值，不可避

　　免地引入插值誤差; (2) 每個(gè)時(shí)間層之間的插值關(guān) 系需要重新獲得，由此增大了計(jì)算量.這種方法被 Grüber 和 Carstens[39) 用于渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的強(qiáng)迫 振動(dòng)問題.Schulze[40) 采用這種辦法處理了機(jī)翼運(yùn) 動(dòng)的空氣彈性問題.

　　4.1.3 變形非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)

　　"變形" (movi噸:-grid 或 deforming-grid) 非結(jié)構(gòu) 動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)的基本思想是:在保持網(wǎng)格拓?fù)?結(jié)構(gòu)不變的情況 F，重新分布網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)其優(yōu)點(diǎn) 是能夠保持網(wǎng)格關(guān)聯(lián)信息不變，避免了每一步的 插值.缺點(diǎn)是:在大尺度運(yùn)動(dòng)后網(wǎng)格質(zhì)量會(huì)變的很 差，甚至有可能相交，即出現(xiàn)負(fù)體積單元，導(dǎo)致非 定常計(jì)算的失敗.非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的變形技術(shù)主要有

　　以-1"幾種方法:

　　(1) 彈簧拉伸法

　　在文獻(xiàn) [41] 中， Frederic 將彈簧拉伸法分為兩 類:點(diǎn)拉伸法 (vertex spring) 和片拉伸法 (segment spring). 點(diǎn)拉伸法最先用于優(yōu)化初始非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 的生成，其基本思想是將網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系視 為等強(qiáng)度的彈簧，在給定邊界約束的前提下，彈簧 系統(tǒng)的平衡態(tài)即為優(yōu)化后的網(wǎng)格分布 .在動(dòng)網(wǎng)格 生成過程中，由于物體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致彈簧系統(tǒng)的平衡 態(tài)破壞，此時(shí)需要通過松弛法代法移動(dòng)相關(guān)的網(wǎng) 格節(jié)點(diǎn)，保持彈簧系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平衡.由 Hook 定律 可以得到所有與節(jié)點(diǎn) t 相連的節(jié)點(diǎn) j 對(duì)其所施的 力

　　式中 αω 是節(jié)點(diǎn) 4 和 j 之間的彈性系數(shù) ，N 是與 4 相鄰的節(jié)點(diǎn)數(shù)目.為了使系統(tǒng)平衡，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的 合力必須等于 0，整理之后的法代方程為

　　N

　　Zα432?

　　z?+1= 主卡一 (37)

　　藝 αij

　　方程 (36) 作用于網(wǎng)格內(nèi)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每法 代一次都使節(jié)點(diǎn)進(jìn)→步趨于平衡.在實(shí)際應(yīng)用過 程中，并不要求整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到真正的平衡，因?yàn)閺?簧拉伸只是一種優(yōu)化網(wǎng)格質(zhì)量的方法，因此法代 的次數(shù)可以不必太多，過多的法代步數(shù)會(huì)影響計(jì) 算效率.在每一次的迭代中，新的節(jié)點(diǎn)位置 Xi 實(shí) 際上是周圍節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)平均，權(quán)重是彈性系 數(shù) αij. 一般取何= 1，即假設(shè)所有彈簧等強(qiáng)度;有 時(shí)根據(jù)需要，可以適當(dāng)調(diào)整彈性系數(shù) α妒

　　點(diǎn)拉伸法對(duì)于小變形或小位移問題具有良好

　　的計(jì)算效率;但是對(duì)于變形或位移較大的問題，將 無法得到高質(zhì)量的計(jì)算網(wǎng)格為此， Batina[42) 等提 出了片拉伸法，其與點(diǎn)拉伸法的不同之處在于拉 伸時(shí)的平衡長(zhǎng)度 (equilibrium length of spring) 不同 (點(diǎn)拉伸法的平衡長(zhǎng)度設(shè)為 0). 該方法中，彈簧的 平衡長(zhǎng)度定義為初始時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)間距，而將 Hook 定律作用于節(jié)點(diǎn)的位移量，即

　　N

　　F i = 匯α甘 (ðj - ði) (38)

　　j=l

　　式中 ði ，ðj 分別是節(jié)點(diǎn)i，j 的位移.迭代方程即為

　　N

　　Zαijðj n

　　δ?+l= 弓一-UXi (39)

　　藝 αij i=l

　　這里， Diric劃.et 邊界條件被設(shè)定為己知的動(dòng)邊界位 移，而彈簧的彈性系數(shù)取為節(jié)點(diǎn)間距的倒數(shù)

　　αij = I !=:= (甜)

　　\/(Xi -Xj)" + (執(zhí) - Yj)"

　　經(jīng)過方程 (38) 的迭代，點(diǎn) t 的坐標(biāo)最終成為

　　z?ew=z?ld+δ?anal(41)

　　N

　　F= 藝創(chuàng)j( 的 -Zi) (36)

　　Batina[42) 首先將該方法用于生成機(jī)翼顫振的

　　動(dòng)態(tài)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格. 后來很多學(xué)者都采用該方法來

　　434 力 學(xué) 進(jìn) 展

　　2010 年第 40 卷

　　處理動(dòng)邊界問題:如 Slikkev'四r 等問用它來處理 自由表面問題;H兇san 等問!用它來處理外掛物分 離問題; Blom 和Leyland[45] 用它來處理強(qiáng)迫振動(dòng) 和流場(chǎng)結(jié)構(gòu)干擾問題; FI町hat 等 [46] 和 Piperno[47] 用它來處理氣動(dòng)彈性的計(jì)算問題.值得注意的是， 彈簧拉伸法不僅適用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，也適用于結(jié) 構(gòu)網(wǎng)格，例如 Nakah回，bi 和 Deiwert[51] 用其處理網(wǎng) 格自適應(yīng)問題.在國(guó)內(nèi)，楊國(guó)偉等 [52] 利用該方法 進(jìn)行了飛機(jī)氣動(dòng)彈性的數(shù)值模擬.

　　(2) 基于Delaunay 背景網(wǎng)格的網(wǎng)格變形方法 最近 Liu 等 [53] 發(fā)展了基于 Delaunay 背景網(wǎng)

　　格的插值方法，較好地解決了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的動(dòng)態(tài) 變形問題它首先按照 Delaunay 準(zhǔn)則生成一套非 常稀疏的背景網(wǎng)格;然后建立計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與 D令 launay 背景網(wǎng)格單元的一對(duì)一映射關(guān)系這種映射 關(guān)系-旦建立，在運(yùn)動(dòng)變形過程中便不會(huì)更改.這 樣在 Delaunay 背景網(wǎng)格變形運(yùn)動(dòng)以后，計(jì)算網(wǎng)格 的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)就可以依照先前建立的一對(duì)一映射關(guān) 系很快回插計(jì)算出新的坐標(biāo).與目前普遍使用的

　　彈簧拉伸法相比，該方法的最大優(yōu)勢(shì)在于不用法 代計(jì)算，效率得到較大提高，而且對(duì)于較大尺度變 形問題，該方法能得到較好的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格.

　　Delaunay 背景網(wǎng)格的插值方法可以分為 4 個(gè) 步驟: (1) 背景網(wǎng)格的生成; (2) 映射，即建立計(jì)算

　　網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與背景網(wǎng)格單元的映射關(guān)系; (3) 背景網(wǎng)

　　格的運(yùn)動(dòng)和變形; (4) 回插，即依照新的背景網(wǎng)格

　　和在第 2 步中得到的映射關(guān)系做逆運(yùn)算得到節(jié)點(diǎn) 新坐標(biāo). Bowyer[叫和 Watson(55] 指出:對(duì)于空間 位置確定的點(diǎn)集，存在一個(gè)唯一的三角形 (2D) 或 四面體 (3D) 構(gòu)造方案. Delaunay 網(wǎng)格生成方法的最大缺陷是不能保證物形邊界的完整性，因此往

　　往需要通過各種方法刪除物體內(nèi)部的網(wǎng)格，并通 過邊界修正保證邊界的完整性.然而，在這里卻 不必嚴(yán)格保持物形邊界，因?yàn)镈e launay 背景網(wǎng)格 只是用于記錄計(jì)算網(wǎng)格的相對(duì)位置.它只需保證 能夠進(jìn)行正確的回插，其自身的邊界完整性與計(jì) 算網(wǎng)格沒有任何關(guān)系圖 9 顯示了通過 Delaunay 背景網(wǎng)格插值方法得到的魚體巡游的動(dòng)態(tài)混合 網(wǎng)格.

　　〈二二::::::=:- C二二、 盧

　　(b)

　　(c)

　　困 9 通過 Delaunay 背景網(wǎng)格插值法得到的混合動(dòng)網(wǎng)格 (53]

　　4.1.4 變形/重構(gòu)混合網(wǎng)格生成技術(shù) 無論是彈簧拉伸法，還是基于 Delaunay 背景

　　網(wǎng)格的插值法，它們?cè)谔幚砀笞冃蔚姆嵌ǔ栴}

　　時(shí)(如長(zhǎng)距離多體分離)，均存在較大的困難，因?yàn)?/p>

　　大變形將導(dǎo)致網(wǎng)格單元的質(zhì)量急劇下降，有時(shí)甚至 導(dǎo)致網(wǎng)格的相交，進(jìn)而影響非定常計(jì)算的精度，甚 至導(dǎo)致計(jì)算失敗張來平等問、常興華等悶， 50] 在以往發(fā)展的定態(tài)混合網(wǎng)格技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了

　　第 4 期

　　張宋平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述

　　435

　　解決此類問題的新策略，即將彈簧拉伸法與局部網(wǎng) 格重構(gòu)結(jié)合起來生成動(dòng)態(tài)網(wǎng)格.首先采用彈簧拉伸 法移動(dòng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，然后進(jìn)行網(wǎng)格質(zhì)量檢測(cè)，如果網(wǎng) 格質(zhì)量滿足要求，則繼續(xù)利用彈簧拉伸法進(jìn)行下一 步的網(wǎng)格生成;如果變形后的網(wǎng)格不能通過質(zhì)量檢 測(cè)，則在局部進(jìn)行重構(gòu).這便是所謂的變形/重構(gòu)混 合網(wǎng)格生成技術(shù).與此類似郭正和劉君 [561 等利 用該技術(shù)進(jìn)行了多體分離的動(dòng)態(tài)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù) 的研究以變形體的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成為例，這里 簡(jiǎn)要地給出了動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成過程.具體的動(dòng) 態(tài)混合網(wǎng)格的流程圖如圖 10 所示.

　　要對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體生成動(dòng)態(tài)網(wǎng)格，首先要 生成初始時(shí)刻的靜態(tài)網(wǎng)格，然后當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì) 網(wǎng)格進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整.為了適應(yīng)復(fù)雜外形，最好

　　物體變形

　　的方法當(dāng)然是混合網(wǎng)格 [1，21 這里，采用了如下 的初始定態(tài)混合網(wǎng)格生成策略(以二維問題為例) : 混合網(wǎng)格由貼體的四邊形網(wǎng)格、外圍的矩形網(wǎng)格 和中間連接的三角形網(wǎng)格組成.貼體的大伸展比 的四邊形網(wǎng)格由層推進(jìn)法生成，用來模擬邊界層. 然后在整個(gè)計(jì)算域內(nèi)用四分樹方法生成覆蓋全場(chǎng) 的矩形網(wǎng)格，隨后刪除貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格附近和內(nèi)部 的矩形網(wǎng)格，這樣在矩形網(wǎng)格和四邊形網(wǎng)格之間 形成了一個(gè)縫隙，之后用陣面推進(jìn)法生成三角形 網(wǎng)格填補(bǔ)這個(gè)縫隙，并用彈簧拉伸法和"對(duì)角線交 換"方法對(duì)三角形網(wǎng)格進(jìn)行優(yōu)化.具體方法可以參 見文獻(xiàn) [57"'59]. 為了適時(shí)控制初始陣面劃分以及 推進(jìn)過程中新的點(diǎn)的插入，以得到光滑并且適用 于物理問題的網(wǎng)格分布，可以采用控制計(jì)算網(wǎng)格 空間步長(zhǎng)分布的矩形背景網(wǎng)格技術(shù) [57，60J

　　貼體四邊形間格變形 控制網(wǎng)格分旬的背景間格調(diào)整 三角形網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)松馳

　　笛卡爾網(wǎng)格重新生成 局部三角形網(wǎng)格重構(gòu)

　　下一時(shí)間步

　　圖 10 動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成示意圖(彈簧拉伸法和局部網(wǎng)格重構(gòu)法鍋合)

　　在靜態(tài)混合網(wǎng)格生成之后，則按如圖 10 所示 的方法生成動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格.首先，物體周圍貼體的 四邊形網(wǎng)格隨物體變形而變形.具體過程如下:

　　(1) 在初始網(wǎng)格生成中記錄每一層的節(jié)點(diǎn)數(shù) 目、四邊形數(shù)日，并記錄生長(zhǎng)方向的點(diǎn)與點(diǎn)之間的

　　聯(lián)系，以及點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度.

　　(2) 當(dāng)外形變化時(shí)，第 1 層的網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)隨著 外形的變形而更新

　　(3) 求第 1層節(jié)點(diǎn)的新推進(jìn)方向并進(jìn)行法線光 滑.

　　436 力 學(xué) 進(jìn) 展

　　2010 年第 40 卷

　　(4) 按照保存的初始網(wǎng)格信息(推進(jìn)距離，節(jié)

　　點(diǎn)關(guān)聯(lián)信息等)，利用新的推進(jìn)方向，更新第 2 層點(diǎn) 的新坐標(biāo).

　　(5) 以此類推，直到最后一層四邊形網(wǎng)格點(diǎn)的 坐標(biāo)更新完畢.推進(jìn)的步長(zhǎng)和初始網(wǎng)格生成中步 長(zhǎng)一致，無需重新求解.

　　當(dāng)貼體四邊形網(wǎng)格更新完成后，外部的矩形 網(wǎng)格保持不變，中間的三角形網(wǎng)格利用彈簧拉伸

　　法進(jìn)行節(jié)點(diǎn)松弛當(dāng)三角形的質(zhì)量過差(外接圓和 三角形面積比大于一定的值)或者四邊形網(wǎng)格和 矩形網(wǎng)格相交時(shí)，局部矩形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格都 重新生成.作為動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格的生成實(shí)例，這里給 出了兩個(gè)動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成實(shí)例，其中圖 11 為一

　　個(gè)周期內(nèi)雙魚對(duì)擺的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格，圖 12 是戰(zhàn)斗

　　由于Delaunay 背景網(wǎng)格插值法在中小變形情 況下能快速生成高質(zhì)量的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格，為此進(jìn)一步 發(fā)展了基于Delaunay 背景網(wǎng)格插值法和局部網(wǎng)格 重構(gòu)法相結(jié)合的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成方法.其網(wǎng)格 生成流程如圖 13 所示.其基本思想與前述稿合 方法相似，只是在變形網(wǎng)格生成過程中采用了 De­ launay 背景網(wǎng)格插值法，而 Delaunay 背景網(wǎng)格本 身的變形則通過彈簧拉伸法實(shí)施變形，如果彈簧 拉伸法無法得到合適的 Delaunay 背景網(wǎng)格，背景

　　網(wǎng)格本身也可以重構(gòu).作為實(shí)例，本文生成了三 段翼型的副翼折轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格(圖 14). 后緣副翼從初始狀態(tài)折起，變形位移很大，但是利 用 Delaunay 網(wǎng)格插值方法仍能在不改變網(wǎng)格拓?fù)?結(jié)構(gòu)的情況下，生成全過程的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格(如圈 14(b)rv 圈 14(d) 所示).這里 Delaunay 背景網(wǎng)格僅 覆蓋副翼附近的區(qū)域，其外邊界點(diǎn)當(dāng)副翼折轉(zhuǎn)時(shí) 適當(dāng)旋轉(zhuǎn).從圖 14 中可以看到，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程 中，外場(chǎng)的網(wǎng)格保持靜止，局部網(wǎng)格變形，變形網(wǎng)格

　　第 4 期 張米平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 437

　　的質(zhì)量保持良好.對(duì)于三維問題，國(guó) 15 顯示了魚體

　　模型巡游時(shí)的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格，國(guó) 16 顯示了變形飛 機(jī)模型的動(dòng)態(tài)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格(表面網(wǎng)格和 空間網(wǎng)格)，

　　可以看到，由于棍合方法綜合了 Delaunay 背景網(wǎng) 格插值法和局部網(wǎng)格重構(gòu)法的優(yōu)勢(shì)，岡此能夠生 成復(fù)雜外形的高質(zhì)量動(dòng)態(tài)網(wǎng)格.

　　Delaunay背景網(wǎng)一幅至南

　　建立計(jì)算網(wǎng)格'與 Delaunay

　　背景網(wǎng)格的描值對(duì)應(yīng)關(guān)系

　　國(guó) 13 動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格生成示忘國(guó) (Delaunay 背景網(wǎng)格插值法和局部網(wǎng)格重構(gòu)法稍合)

　　國(guó) 14 多段典型的品IJ 翼折轉(zhuǎn)過程的動(dòng)態(tài)混合同格

　　l:l '" i11 It( :20 10 r : 10 古

　　劇 15 三維魚體巡游的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格

　　YLCz Yt之z

　　國(guó) 16 變形飛機(jī)的 三維動(dòng)態(tài)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格

　　4.2 基于非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格的非定常計(jì)算格式

　　4.2.1 流動(dòng)控制方程 基于非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格的流動(dòng)控制方程實(shí)際上

　　與基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的流動(dòng)控制方程一致.但是，在非 結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格情況下，基于貼體坐標(biāo)變換的有限

　　差分法已經(jīng)不再適用，這時(shí)一般采用積分形式的控

　　制方和.在運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格情況下，一般可以將非定常 NS

　　方程寫成如下的積分形式(以 二維問題為例)

　　!JQdV+ f陽(yáng)x +Frny - Q的叫Jds-

　　V 8

　　言1φ(Evnx + FVny)ds = 0 (42)

　　.& ..OO J

　　其中 Vg 為網(wǎng)格面的運(yùn)動(dòng)速度， n 為法線方向，V 和

　　8 分別為網(wǎng)格單元的體積分和面積分，其他物理量

　　的定義與 3.2 節(jié)相同.

　　4.2.2 時(shí)間離散方法 與基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法類似，利

　　用非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格求解非定常問題，最直接的時(shí)

　　間離散方法是多步 Runge-Kutta 顯式推進(jìn)方法，但 是這種方法要求選取非常小的真實(shí)時(shí)間步長(zhǎng)，否 則無法滿足時(shí)間精度的要求，而且時(shí)間步長(zhǎng)的選 取需要滿足穩(wěn)定性條件，對(duì)計(jì)算帶來很大不便.隱 式方法又大致分為兩類:一類是直接的隱式離散 方法，另一類是雙時(shí)間步方法 [61，叫.在實(shí)際工程

　　第 4 期 張來平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 439

　　問題的非定常計(jì)算中，一般都選用雙時(shí)間步方法 . 在虛擬時(shí)間步遠(yuǎn)代過程中，則可以采用成熟的加 速收斂技術(shù)，如隱式計(jì)算方法、多重網(wǎng)格方法、并 行計(jì)算方法等.這與基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算 方法類似，只不過需要采用針對(duì)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的隱 式計(jì)算方法、多重網(wǎng)格方法和并行計(jì)算方法等.關(guān) 于子送代的加速收斂技術(shù)將在 4.2.5 節(jié)中介紹.

　　4.2.3 不可壓縮的非定常計(jì)算方法 在不可壓縮流中，非定常現(xiàn)象也非常普遍.

　　對(duì)于不可壓縮問題，常用的計(jì)算方法有預(yù)處理方 法 [62 64] 和虛擬壓縮方法 [65 6η. 預(yù)處理方法是

　　在控制方程時(shí)間項(xiàng)中引入了預(yù)處理矩陣 (r)

　　r!JQ機(jī) f [E[nx + F[ny - Q(Vg• n)1

　　V 8

　　R cof 肌x +FVny)…側(cè)

　　8

　　通過選取合適的矩陣，解決低速流計(jì)算的收

　　斂問題，具體參見文獻(xiàn)歸2rv64l. 虛擬壓縮的概念 則是 Chorin[65] 首先提出的，他通過在連續(xù)性方程中引入壓力對(duì)虛擬時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)從而把壓力場(chǎng)和 速度場(chǎng)藕合起來.

　　預(yù)處理方法和虛擬壓縮方法最先應(yīng)用于定常 問題的計(jì)算，以加速不可壓縮流計(jì)算的收斂歷程， 后來一些學(xué)者結(jié)合雙時(shí)間步方法，將預(yù)處理方法 和虛擬壓縮方法應(yīng)用于非定常計(jì)算 [62，66，67J 當(dāng)然， 關(guān)于不可壓縮流的計(jì)算還包括 SIMPLE 算法[倒l、 微可壓模型 (SCM) 計(jì)算方法陽(yáng)，而]和當(dāng)前比較熱 門的技影法 [71，72] 等等，這些方法也相繼被推廣應(yīng) 用于不可壓縮流的非定常計(jì)算.由于篇幅的限制， 這里不再詳述.

　　4.2.4 動(dòng)邊界問題 非定常計(jì)算往往要碰到動(dòng)邊界問題，解決這

　　一問題的方法有很多，例如非慣性系 F的剛性 運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格方法、內(nèi)置邊界方法 [73 75] (immersed boundary，IB) 、動(dòng)網(wǎng)格計(jì)算方法等等.關(guān)于非慣 性系 F的非定常計(jì)算方法，在前節(jié)已經(jīng)介紹，這里 不再重復(fù)

　　(1) IB 方法

　　對(duì)比邊界保形 (bound町 conforming) 的動(dòng)網(wǎng) 格計(jì)算方法，田方法實(shí)際上是一種非邊界保形法

　　(bound町non-conforming method). IB 方法采用的 網(wǎng)格一般為笛卡兒網(wǎng)格或者簡(jiǎn)單的圓柱網(wǎng)格，網(wǎng) 格不需要與物體邊界保持一致，因而簡(jiǎn)化了網(wǎng)格 生成的難度.采用 IB 方法，需要在控制方程中引 入源項(xiàng)以保證物體邊界的無滑移條件;對(duì)于包含 物理邊界的網(wǎng)格單元還需要在控制方程中引入 質(zhì)量源以保證質(zhì)量守恒，以不可壓縮流為例，其微 分形式的控制方和變化為

　　(等)儼+V" (UrU儼) = -V'P+ 合2Ur +

　　(44)

　　j' V" Ur-q=O

　　其中 f 為動(dòng)量力，q 為質(zhì)量源. 這種方法不用考慮復(fù)雜的物體外形，可以采

　　用簡(jiǎn)單的網(wǎng)格，因此很受重視，近來一些作者相繼

　　將其推廣應(yīng)用于非定常問題的計(jì)算，如 Kim 等 [75] 結(jié)合坐標(biāo)變換，將該方法應(yīng)用于非慣性系下的非 定常計(jì)算;王亮 [76] 通過內(nèi)置邊界和自適應(yīng)笛卡兒 網(wǎng)格的方法，對(duì)三維魚體的自主推進(jìn)進(jìn)行了數(shù)值 模擬;邵雪明等 [77] 利用該方法模擬了二維多魚巡 游的問題等.盡管這種方面在一些簡(jiǎn)單外形的數(shù) 值模擬中取得了較大的成功，但是對(duì)于復(fù)雜問題， 如何適當(dāng)選取邊界處的分布函數(shù)，嚴(yán)格保證邊界 條件，依然是值得深入研究的問題.因此，邊界保 形的動(dòng)網(wǎng)格方法仍然是主流方法.

　　(2) 兒何守恒律 與結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格計(jì)算一樣，在非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格計(jì)

　　算中，必須考慮兒何守恒率. Lesoinne 和 Farhat[78]

　　闡述了動(dòng)網(wǎng)格計(jì)算的幾何守恒率 (GCL) 問題.他 們認(rèn)為動(dòng)網(wǎng)格的計(jì)算必須滿足幾何守恒率，并分 析了任意拉格朗日·歐拉 (ALE) 有限體積法、有 限元方法、時(shí)空穩(wěn)定的有限元方法等算法的兒何

　　守恒率問題.其中，時(shí)空穩(wěn)定的有限元算法能自動(dòng) 滿足幾何守恒率 j ALE 方法則需要保證每個(gè)網(wǎng)格 單元的體積變化等于每個(gè)面在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的 體積之和，并提出了用"中間點(diǎn)原則"來求解網(wǎng)格 面運(yùn)動(dòng)速度的方法.他們還通過計(jì)算分析了兒何 守恒率對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響(如國(guó) 17 所示)，在此類 流國(guó)輯合問題的計(jì)算中，如果不滿足幾何守恒率， 會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的振蕩.

　　v.

　　θ

　　對(duì)于式 (42)，如果流場(chǎng)為均勻流，則要求下式 得以滿足

　　!= )vgndSf (45)

　　這便是所謂的兒何守恒律的數(shù)學(xué)表達(dá).將式 (45)

　　改寫為差分形式，有

　　A; =L

　　Ern+l τrn

　　勺 勺 與ndSf (46)

　　事實(shí)上，每個(gè)單元的體積變化量等于每個(gè)面在運(yùn) 動(dòng)過程中掃過的體積之和，即

　　只叫 -η= 藝A巧 (47)

　　比較式 (46) 和式 (47)，可得

　　gn - .6. f

　　.6.Vf = .6.tvgndSf 、 Vgn = 全旦二 (48)

　　tdS

　　利用上述方法求出 Vgn ，帶入原控制方秤，即可 自動(dòng)滿足兒何守恒率 [79 ，80)

　　4.2.5 加速收斂技術(shù)

　　對(duì)于非定常計(jì)算，當(dāng)采用雙時(shí)間步方法，要求 每個(gè)時(shí)間層間的子選代具有較高的收斂效率，這 時(shí)可以將定常流計(jì)算中很多成熟的加速收斂技術(shù)

　　引入進(jìn)來.用隱式方法求解時(shí)，控制方和最后變?yōu)?/p>

　　一個(gè)非線性的方程組.如果用全隱式的牛頓選代 法求解此非線性方程組，則每一時(shí)間步都需要對(duì) 矩陣求逆，計(jì)算量會(huì)非常大-般可以將方程組線 性化，采用法代法來求解代數(shù)方和組.

　　簡(jiǎn)單的法代法如雅克比 (Jacobian) 法代、高 斯 - 賽德爾法代 (GS)[81 84] 已經(jīng)在隱式方程的求 解中得到了成功的應(yīng)用.但是，隨著網(wǎng)格數(shù)量的

　　增加，這種選代方法的收斂效率會(huì)降低.日前，應(yīng) 用較多的是 LU-SGS (lower upper symmetric Gauss­ Seidel) 方法. LU-SGS 方法最初由 Jameson 和 Yoon(85) 應(yīng)用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的計(jì)算中，通過雅克比矩 陣的岡式分解結(jié)合高斯-賽德爾地代，提高了收 斂效率，之后這種方法被成功地應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng) 格 [86] 預(yù)處理的 GMRES (general minimum resid­ ual) 方法同樣可以提高收斂效率，尤其當(dāng)結(jié)合 ILU 因式分解法時(shí)，收斂效率會(huì)更高 [87，88). Luo 等 [89，90] 采用 LU-SGS 方法作為 GMRES 方法的預(yù) 處理算子，發(fā)展了 GMRES-LU-SGS 方法，得到了 良好的收斂效率此外， Chen 和 Wang[91] 發(fā)展了

　　-種基于混合網(wǎng)格的塊 LU-SGS 方法，在內(nèi)存量 增加不多的情況扎得到了與全隱式方法相當(dāng)?shù)?收斂效率，在實(shí)際應(yīng)用中得到了驗(yàn)證;后來，張來

　　平等 [80，92} 將該方法推廣應(yīng)用到動(dòng)網(wǎng)格非定常計(jì)

　　算，得到了較好的非定常計(jì)算效率.

　　在不可壓和亞跨聲速流的計(jì)算中，廣泛采用 多重網(wǎng)格法.多重網(wǎng)格法最早由 Brandt!93} 引入到 求解非線性偏微分方程的離散形式，后來這種方 法在 CFD 計(jì)算中的應(yīng)用越來越廣泛.它通過在兒 套不同疏密程度的網(wǎng)格上循環(huán)地對(duì)代數(shù)方程進(jìn)行 求解，使得不同頻率的誤差分量均勻地得到衰減， 從而極大地提高了收斂速率

　　對(duì)于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格而言，生成兒套疏密程度不 同的網(wǎng)格，要比結(jié)構(gòu)網(wǎng)格困難的多. 方法之一是 生成相互嵌套的網(wǎng)格，即疏網(wǎng)格不斷通過密網(wǎng)格 單元的聚合而得到 [94，95) 這種網(wǎng)格生成方法效率 高，但是當(dāng)聚合的次數(shù)過多時(shí)，會(huì)使得網(wǎng)格質(zhì)量急 劇下降(尤其是在邊界 層 內(nèi))， 有可 能導(dǎo)致計(jì)算的

　　第 4 期 張米平等:動(dòng)網(wǎng)格生成技術(shù)及非定常計(jì)算方法進(jìn)展綜述 441

　　失敗;可能的解決方案是在聚合過程中引入一些 限制條件，保證聚合后的網(wǎng)格質(zhì)量.張來平等 [96J 在基于動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格的不可壓縮流非定常計(jì)算中， 應(yīng)用了基于混合網(wǎng)格的多重網(wǎng)格技術(shù)，進(jìn)一步提

　　闊的應(yīng)用前景.

　　2.5

　　2.0 • 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　_ ._._.-無貓流

　　高了子選代的效率.

　　另一種生成多重網(wǎng)格的方法是生成相互獨(dú)立 的網(wǎng)格，網(wǎng)格之間通過線性插值進(jìn)行流場(chǎng)信息的 傳遞 [97，98J 這種方法能夠保證疏、密網(wǎng)格的質(zhì)量 ， 可以生成多套網(wǎng)格，提高計(jì)算效率和精度，缺點(diǎn)是 網(wǎng)格生成難以自動(dòng)化，需要重復(fù)地在同-15<:域內(nèi) 生成網(wǎng)格.

　　5 結(jié)束語(yǔ)

　　本文從非定常計(jì)算采用的網(wǎng)格體系的不同 ， 分兩個(gè)部分對(duì)非定常計(jì)算方法進(jìn)行了綜述，即基 于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法和基 于非結(jié)構(gòu)/棍 合網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法.其間，重點(diǎn)介紹了應(yīng) 用于非定常計(jì)算的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格生成技術(shù)、時(shí)間離散 方法、兒何守恒率、加速收斂技術(shù)等.在介紹國(guó)內(nèi) 外進(jìn)展的過程中，也介紹了作者在非定常計(jì)算方 法方面的研究成果.

　　從正文的論述中，可以看到，各種非定常計(jì)算 方法均有各自的優(yōu)缺點(diǎn).對(duì)于基于結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格的 非定常計(jì)算方法，其網(wǎng)格拓?fù)浜?jiǎn)單、計(jì)算效率高， 所以在簡(jiǎn)單外形的非定常流動(dòng)機(jī)理研究中經(jīng)常采 用;對(duì)于復(fù)雜的工程實(shí)際問題，顯然基 于動(dòng)態(tài)混合 網(wǎng)格的非定常計(jì)算方法具有更好的優(yōu)勢(shì).

　　就國(guó)內(nèi)外日前的發(fā)展而言，非定常計(jì)算方法 己經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展，在實(shí)際工程應(yīng)用中也發(fā) 揮了較好的作用.但是，應(yīng)該清醒地 看到，仍有許 多工作需要深入，尤其是非定常計(jì)算的時(shí)間精度

　　問題、復(fù)雜構(gòu)型的動(dòng)態(tài)混合網(wǎng)格自動(dòng)生成的 魯棒

　　性和實(shí)用化問題、計(jì)算效率的提高問題等等.當(dāng) 前，大規(guī)模并行計(jì)算已經(jīng)成為一種趨勢(shì)，對(duì)于計(jì)算 量巨大的非定常問題，采用并行計(jì)算技術(shù)是必然 的選擇.

　　最后需耍說明的是，在非定常計(jì)算方法的研 究與應(yīng)用方面，國(guó)內(nèi)外都有很多卓有成效的工作， 文中引述的資料肯定不夠全面;而且，對(duì)某些問題 的看法可能帶有個(gè)人的偏好岡此，希望讀者給予 批評(píng)指正

　　參考文獻(xiàn)

　　1 Thompson JF，Soni BK ，Weatherill NP. Handbook of Grid

　　Generation. USA: CRC Pr四民 1998

　　2 ∞

　　Baker TJ. Mesh generation: 町t or science? P.何可9. Aero.

　　Sci.，2 5，41: 29"'63

　　3 Steinthorson E，Liou MS，Povinelli LA. Development of 創(chuàng)1

　　explicit multiblockjmultigrid flow solver for viscous flows in complex geometries. A1AA 93盧2380，1993

　　4 Sheng C，Taylor L，Whitfield D. Multiblock multigrid sφ lution of three dimensional in∞mpr四sible turbulent flows

　　about appended subma.rine confìguration. AIAA 95-0203，

　　1995

　　5 Flor臼 J，Reznick SG，Holst TL，et.al. τ'ransonic Navier­

　　∞

　　Sto倒四lution for a figh飼r(shí)-like confìguration . AIAA 87- 32，1987

　　推薦期刊：《計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件》創(chuàng)刊于1984年，由上海市計(jì)算技術(shù)研究所和上海計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)開發(fā)中心共同主辦，注重刊登反映計(jì)算機(jī)應(yīng)用和軟件技術(shù)開發(fā)應(yīng)用方面的新理論、新方法、新技術(shù)以及創(chuàng)新應(yīng)用的文章，致力于創(chuàng)辦以創(chuàng)新、準(zhǔn)確、實(shí)用為特色，突出綜述性、科學(xué)性、實(shí)用性，及時(shí)報(bào)道國(guó)內(nèi)外計(jì)算機(jī)技術(shù)在科研、教學(xué)、應(yīng)用方面的研究成果和發(fā)展動(dòng)態(tài)的綜合性技術(shù)期刊，為國(guó)內(nèi)計(jì)算機(jī)同行提供學(xué)術(shù)交流的平臺(tái)。