對于當前函數的應用建設管理上有什么新的發展措施呢?我們應該如何來加強對指數的學習及應用呢?同時數學教學應用的新思想有何意義及影響呢?本文選自：《高中數學教與學》,《高中數學教與學》(半月刊)創刊于1992年，是由江蘇省教育廳主管、揚州大學主辦的學術性和普及性相結合的高中數學教育期刊。江蘇省一級期刊。本刊緊扣中學數學教學實際。讀者對象為廣大中學數學教師、中學生、數學愛好者和學生家長等。江蘇省一級期刊。《高中數學教與學》主管單位：江蘇省教育廳，主辦單位：揚州大學，國內統一刊號：32-1398/G4，國際標準刊號：1007-1830

　　摘要：指數函數的概念、圖象、性質,當然是重要的知識,是本節課的重點,是學生要努力學習掌握的,但是,教學僅關注知識的落實是不夠的.因為,比知識更為重要的是發展學生的認識力.正如涂榮豹教授所說的:“如果把‘人的發展’放在首位,那么,每節數學課都要把發展學生的認識力作為教學的最大目標.”從這樣的觀點出發,去設計教學,去實施教學,才可能是真正把準了知識與能力的關系,并在教學中做到:既落實知識,更注重培養和發展學生的能力.從而,把提出問題的機會留給學生,把尋找方法的空間讓給學生,把自主探究學習的權力還給學生,把學生的數學思考給“逼向”深入……這些是教師應該努力做到的.

　　關鍵詞：指數函數,數學教育,教學職稱

　　一、指數函數教學教什么

　　1.高中指數函數的教育價值

　　我們先從整體上把握高中數學新課程“函數”的教學.在高中數學新課程中,函數內容展開的線路與順序是,第一步,函數的概念(三要素)、表示方法.第二步,研究函數的性質(單調性、奇偶性),從數和形兩個角度研究并相互印證,以求讓學生初步形成研究函數的一般方法,即掌握研究函數一般要研究哪些內容,通過怎樣的方法與思路去研究.第三步,學習具體的重要的函數模型:指數函數、對數函數、冪函數、三角函數、數列(離散型的函數)等.而這些函數模型的學習與研究,又是在重復并深化了研究函數的一般方法與步驟:函數的定義域是什么,對應法則如何,性質怎樣?其圖形表征是怎樣的(圖形語言)?看圖象能夠看出什么(數形結合)?學生不僅學到了知識,而且掌握了方法,提高了能力.第四步,就是函數的知識與方法在學習其他內容過程中的滲透與應用,同時,學生對函數的理解也在一直不斷地得以強化和深入.

　　可見,指數函數是在學習“對應說”函數概念和函數的一般性質的基礎上,具體研究的第一個重要函數模型,是應用研究函數性質的一般方法去研究函數的一次實踐.對學生而言,既學習了新的函數模型,又強化了對函數研究方法的掌握,為后續學習研究另外的幾個重要函數模型積累寶貴的經驗,還將進一步深化對函數概念的理解.指數函數是超越函數,學生第一次遇到,學習面臨著挑戰.其學習過程充滿著觀察、分析、抽象、概括等方法,蘊含著從特殊到一般、數形結合、函數的思想.因此,學習指數函數是學生認識函數的又一次飛躍.更為重要的是,讓學生深入理解科學研究的一般方法,這對于提高學生的科學素養,實現教育要關注“人的發展”是十分有意義的.

　　2.指數函數教學教什么

　　按照南京師范大學涂榮豹教授的觀點,教什么就是教學生學什么和教學生怎么學.具體到本節課,我們就要思考:學生學習指數函數,能夠在哪些方面得到發展,為了達成這一教學目標,我們又要把握哪些關鍵呢?

　　首先,教學生學習“提出問題”.提出問題比解決問題更重要.因而,教學要創設恰當的問題情境,努力讓學生產生學習研究新事物的傾向,嘗試提出問題.在新課引入的過程中,學生可能會自然地有這樣的疑問:既然我們已經學習了函數的概念和性質,為什么還要研究具體的函數;函數有千千萬萬,為何要專門研究指數函數?這就要求我們在問題情境的創設(本節課是以實際問題情境引入新概念)時給學生以強烈刺激:形式新——以前未曾見過;有用——問題均來自于現實背景.從而,使學生意識到學習研究這樣的函數模型的必要性,產生學習研究的欲望和動力.進一步地,啟發引導學生思索:這一類事物的共同的本質屬性是什么,如何給他們下一個嚴格的數學定義……在問題情境基礎上的觀察、比較、分析、概括……學生自主建構概念過程也就自然地展開了.

　　其次,讓學生學習“尋找”一般科學研究方法的方法.這具有方法論的意義.在建立指數函數概念后,接下來要干什么?——研究它的性質.但是,這個問題由誰提出,由誰回答,大不一樣:是教師直接給出這樣的任務傾向,明示學習的任務,讓學生具體地做下去;還是由學生主動產生探究的欲望,并自己探索研究的任務和方向,應該說二者不是一個層次上的問題.顯然,前者對學生學習能力(具體地:自己提出問題,探索研究方向)的培養,是非常重要的.如果教師告知指導學生,接下來要干什么,要怎么做,學生只能是按教師的“既定路線”去“執行”,只能是完成教師布置的任務,其學習過程是被動的,思維是膚淺的.將來遇到新的問題,學生還是束手無策,不知所從.因此,啟發引導學生自己提出問題、自己尋找探究的方向、探究的方法,自己概括探究的結果……也許是本節課的重中之重.

　　在學生明確要研究指數函數的性質的任務取向后,接下來的問題自然是,怎樣研究指數函數的性質,即通過什么途徑、用什么方法來研究它的性質——這還是需要讓學生自己去尋找.教師只能是啟發引導:以往有什么樣的研究函數性質的經歷、經驗,初中階段是如何研究函數性質的,進入高中后又學習了函數的哪些性質,研究函數要研究函數的哪些性質……教師要不斷地、愈來愈近地、由暗及明地啟發引導,讓學生自己主動地去回想聯想,探索研究函數性質的方法,明確研究函數性質的內容,確定研究方案,并付諸于研究的實踐.

　　二、教學內容的三個節點分析

　　筆者認為,指數函數的教學有三個環節不容忽視,或者說,這三個環節把握的恰當與否是教學設計和實施成敗的關鍵.

　　第一,指數概念的引入.如前文所及,需要創設一組問題情境,并啟發引導學生“從大量的同類事物的不同例證中獨立發現同類事物的關鍵屬性”.問題情境應當是反映共同本質屬性的、學生所熟悉的、學生感興趣的若干個實際問題.讓學生從問題解決的過程中發現新事物,然后是去“情境化”,即把具體的實際問題轉化為具體的數學問題.在此基礎上,再進行二次抽象:把具體的數學問題轉化成更為一般形式的概括——建立嚴格的數學概念.

　　第二,指數函數性質的研究.要注意以下幾個關鍵:一是要讓學生提出問題——需要研究指數函數的性質;二是要讓學生探究研究函數性質的方法——怎樣研究函數的性質;三是在研究過程中,讓學生有明確的研究目標——研究函數性質研究什么,也就是得到怎樣的“研究成果”才算完成了指數函數性質的研究.

　　第三,指數函數的簡單應用.即例題的教學,具體是簡單指數式的大小比較,需要利用指數函數的單調性.問題看似簡單,實則蘊含著重要的函數思想:題目中沒有函數,需要將問題轉化為函數問題,即需要引進指數函數解決.問題的思維價值在于:怎樣想到的“引進”一個“指數函數”?——努力地讓學生自己去“想到”,正是培養學生尋找解決問題策略的大好時機,同時,也將促進學生對函數思想的理解.如果教師直接講解告知,即像教材上那樣,上來就直接解題,開始就“考察指數函數……”解題過程無懈可擊,學生“聽懂”沒有困難,解決類似問題也可模仿處理,好像并無不妥.但是,結果似從天而降,過程毫無思維含量而言,教學是教師強加于人,題目也變得索然無味了.從這一點而言,看似簡單例題的教學,也許還有文章可做.

　　三、三個節點教學設計構想

　　基于上述分析,就上述三個節點的教學設計,在啟發引導學生自主探究方面,筆者從提問設計的角度,作出以下設想和思考.

　　1.概念引入要突出過程

　　先給出三個實際問題情境(其中兩個來自于蘇教版教材),并通過問題解決得到三個關系式:

　　(1)某細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,4個分裂成8個,……若細胞分裂的次數為x,相應的細胞個數y是多少?

　　(2)根據下面的一句話,寫出“天數”x與“長度”y的關系式:

　　“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”——《莊子·天下篇》.

　　(3)要測定古物的年代,可以利用放射性碳法:在動植物的體內都含有微量的放射性.動植物死亡后,停止了新陳代謝,不再產生,且原有的會自動衰變.經科學測定,若的原始量為1,則經過x年后的殘留量為.

　　然后引導學生分析這些關系式的特點,努力讓學生感悟到:這是一組函數關系式——它符合函數的定義;這樣的函數關系式很有用,值得關注——它們全部來自現實生活;這樣的函數關系式從未見過,是新生事物;進一步地,它們有何共同特點——自變量在指數位置……讓學生嘗試概括指數函數的概念也就水到渠成了.在整個建立概念的過程中,一是要給學生充分的觀察、比較、分析、概括的時間和空間;二是要悉心的啟發引導學生自主建構概念.特別是概括事物的本質屬性,要給學生充分的思考時間,比如,讓學生相互討論交流,讓學生再舉出類似的例子.

　　附帶說一下關系式中的x的范圍的理解.教材中設“經過x年后”,似乎x要取正整數,但理解為“x可取一切正實數”可能更好:一是客觀上說得通,的衰變本身就是連續變化的;二是這樣做對理解指數函數的定義域為R有好處;三是在前面學習“分數指數冪”時,學生已“知道”當x為無理數時,是一個確定的實數.這對概念的理解與概括都是有益的.至于a>0,a≠1的規定,只需根據“分數指數冪”的定義不難理解,不必花太多時間和精力,它并非本節課的重點,而且,過多涉及反而“說不清”,會增加學生理解概念的困難.

　　2.性質學習要注重探究

　　建立指數函數的概念后,接下來要干什么?——研究它的性質;怎樣研究?——尋找研究的方法;研究什么?——明確研究的目標.這一切均應是學生的自主探究.教師所要做的,就是啟發引導——用大量的元認知啟發提示語去引導學生,并給學生充足的時間去交流、充分的空間去探索.筆者給出如下的問題串,教學過程中視具體情況再作調整:

　　——我們已建立了指數函數的概念,接下來你想干什么?

　　——你想進一步認識指數函數嗎?

　　——指數函數有何特征?

　　(啟發引導學生自己提出“要研究指數函數性質”的問題)

　　……

　　——您打算怎樣研究指數函數的性質呢?

　　——以前有過類似的經歷嗎?

　　——你研究過哪些函數的性質,是如何研究的?

　　(讓學生回憶研究函數性質的方法——畫圖象,由圖象觀察其性質)

　　……

　　——你如何實施你確定的研究方法和研究目標?

　　——你怎樣畫出指數函數的圖象?

　　(讓學生自己選擇a的值,畫圖象)

　　(教師巡視,發現并選擇有代表性圖象展示,比如,要關注到兩類(a>1、0

　　——從圖象你看出了什么,請說說,說的越多越好.

　　(筆者認為,教師并不需要事先給學生明確要研究函數的性質,而是讓學生從圖中多觀察出信息,增加研究的開放性.當學生回答時,教師擇其要點板書,列出指數函數的性質,包括“圖象過定點(0,1)”)

　　——研究函數的性質主要關心哪些“指標”?

　　(讓學生明確研究函數的性質主要研究什么)

　　——這些結論是根據具體的指數函數的圖象觀察出來的,對一般的情形成立嗎?

　　……

　　(師生最終完善形成“指數函數的圖象和性質”)

　　3.解題教學要體現方法

　　先將課本(蘇教版)上的例題抄錄如下:

　　例 比較下列各組數中兩個值的大小:

　　如前所述,問題解決是利用指數函數的單調性來比較指數式的大小,教學的意義在于讓學生尋找解決問題的方法——函數思想.筆者這樣設想提問與啟發:

　　——如何比較二者大小,你能通過計算比較嗎?

　　——如果能,那改為比較與的大小呢?

　　(意在讓學生感受到:直接計算并不是解決問題的辦法,必須要尋求另外的“出路”)

　　——兩式有何特征,有何共同特點?

　　(分析出都是指數式,底數相同,指數不同).

　　——指數不同是什么意思,是否意味著指數在變化,你有何聯想?

　　(底數不變,指數變化——聯系指數函數)

　　——應該引進怎樣的指數函數?

　　——引進指數函數后怎樣說明兩個式子值的大小?

　　……

　　筆者認為,學生學習的過程就是一個不斷地提出問題、尋求方法、解決問題的過程.教師應給學生創造條件,并作悉心地啟發引導,讓學生自己提出問題,自己尋找研究的方法,自己擬定研究的方案,自己總結研究的成果……從而促進學生認識力的提高,實現學生的可持續發展.正是從這一點出發,筆者作了上述分析與思考,不當之處,請廣大同仁批評指正。