來源：廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào) 2022年3期

　　作者:夏雨; 湯峰; 余穎燁

　　摘 要：混沌控制(chaos control，CC)算法在求解結(jié)構(gòu)可靠度問題中具有優(yōu)越的穩(wěn)健性，但由于其對(duì)步長的嚴(yán)格限制，導(dǎo)致計(jì)算速度較慢。單純形法是一種不將梯度方向作為尋優(yōu)方向的算法，該算法初始計(jì)算速度較快，能夠迅速逼近至極限狀態(tài)面附近，此后計(jì)算速度明顯下降，且計(jì)算結(jié)果誤差較大。為此，提出一種基于單純形法改進(jìn)的混沌控制算法。首先，通過增廣乘子法將可靠度計(jì)算中的非線性等式約束問題轉(zhuǎn)化為非約束問題;然后，通過單純形法進(jìn)行初始迭代計(jì)算;最后，使用CC算法進(jìn)行收斂計(jì)算。算例結(jié)果表明：本文算法能夠有效解決高非線性功能函數(shù)可靠度求解問題，且兼具兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，與混沌控制算法相比，提高了計(jì)算效率。

　　關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)可靠度;混沌控制算法;單純形法;可靠度計(jì)算;計(jì)算效率

　　0 引言

　　建筑結(jié)構(gòu)的安全性與穩(wěn)定性對(duì)人類社會(huì)影響巨大，如何對(duì)其進(jìn)行合理評(píng)價(jià)至關(guān)重要。Freudenthal[1]在《結(jié)構(gòu)安全度》一文中提出了結(jié)構(gòu)可靠度的相關(guān)概念;為了得到結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)，Cornell等[2-4]提出了一次可靠度理論，并對(duì)其不斷完善。然而當(dāng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的非線性程度較大時(shí)，經(jīng)典一次可靠度計(jì)算方法往往會(huì)出現(xiàn)迭代振蕩、結(jié)果不準(zhǔn)確的情況。為了解決上述問題，眾多學(xué)者展開了更進(jìn)一步的研究。Liu[5]首先考慮引入merit函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，但是該函數(shù)并不能保證算法的迭代方向?yàn)橄陆捣较?Zhang等[6]考慮引入Armijo準(zhǔn)則進(jìn)行迭代步長的調(diào)控;楊迪雄[7]基于混沌控制理論中的穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法，通過引入步長調(diào)控因子提出了混沌控制(chaos control，CC)算法，但由于該方法對(duì)步長的嚴(yán)格限制，致使算法計(jì)算速度相對(duì)較慢;Meng等[8]針對(duì)CC算法中存在的問題，結(jié)合“之”字型迭代路徑，提出了修正混沌控制(modified chaos control，MCC)方法。目前學(xué)術(shù)界對(duì)于Armijo準(zhǔn)則的研究也有了不少的成果[9]，而李彬等[10-11]則將Armijo準(zhǔn)則引入到混沌控制算法中，使得計(jì)算速度進(jìn)一步加快，并且進(jìn)行了逆可靠度求解方法的嘗試。與此類似，亢戰(zhàn)等[12]提出的修正迭代算法中也提及了步長調(diào)控因子的控制作用，在文中將其定義為修正系數(shù)，并給出了修正系數(shù)的具體計(jì)算方法。

　　除此之外，貢金鑫[13]還對(duì)迭代點(diǎn)在極限狀態(tài)面上的負(fù)梯度方向進(jìn)行了深入研究討論，提出了有限步長法，并推理出HL-RF算法只是有限步長法的一個(gè)特例，該方法的初始步長會(huì)影響算法的收斂性。吳狄等[14]提出了自動(dòng)變步長的搜索方法，但是收斂速度較慢。王林軍等[15]使用外罰函數(shù)法進(jìn)行可靠度計(jì)算，但是由于該方法將其中一個(gè)變量用剩余變量進(jìn)行表示，算法魯棒性不好，不夠穩(wěn)定，應(yīng)用受限。高翔等[16]則將模擬退火法與增廣乘子法應(yīng)用到可靠度計(jì)算中，雖然避免了一次二階矩方法中梯度的求解問題，但是卻增加了迭代步驟。許家赫等[17]將自適應(yīng)性PSO算法與fmincon函數(shù)結(jié)合用于尋優(yōu)計(jì)算，拓展了可靠度指標(biāo)的計(jì)算方法。就目前而言，F(xiàn)OSM方法在結(jié)構(gòu)可靠度分析方面的理論研究已經(jīng)比較成熟，但是在實(shí)際的工程可靠度分析中卻鮮有使用，主要原因是：如果結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)非線性程度過高，那么將會(huì)導(dǎo)致求解過程復(fù)雜化，致使整個(gè)計(jì)算過程效率低下，誤差也比較大，所以如何實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確求解是當(dāng)前有待解決的一個(gè) 問題。

　　針對(duì)上述問題，本文提出一種基于單純形法改進(jìn)的CC算法。首先，通過增廣乘子法將可靠度計(jì)算中的非線性等式約束問題轉(zhuǎn)化為非約束問題;然后，通過單純形法進(jìn)行初始迭代計(jì)算;最后，使用CC算法進(jìn)行收斂計(jì)算，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的計(jì)算準(zhǔn)確性與效率。

　　1 可靠度理論

　　Cornell[2]提出將結(jié)構(gòu)構(gòu)件的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的比值作為該構(gòu)件的可靠度指標(biāo)，并以此建立了一次二階矩方法，但是該方法在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的缺陷。Hasofer和Lind重新定義了結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的概念，確保了可靠度指標(biāo)在同一構(gòu)件不同極限狀態(tài)函數(shù)下的唯一性，對(duì)可靠度理論進(jìn)行了完善與修正。在數(shù)學(xué)上，可靠度指標(biāo)[β]可以定義為如下非線性約束優(yōu)化問題：

　　[minβ=d(X*)=i=1nx*i2] ， (1)

　　[s. t. G(X)=g(x1， x2， …， xn)=0] . (2)

　　式中：[x]是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的隨機(jī)變量，[G(X)]為結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，[β] 是結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)。結(jié)構(gòu)可靠度的幾何意義是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離。對(duì)于不服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，可以使用JC法將其當(dāng)量正態(tài)化。該方法的前提條件是驗(yàn)算點(diǎn)[x*i] 處[X'i]和[Xi] 的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，由此可以得到正態(tài)化之后的變量均值與標(biāo)準(zhǔn)差：

　　[ux′i=x*i-Φ-1[FXi(x*i)]σx′i] ， (3)

　　[σx′i=?{Φ-1[FXi(x*i)]}fXi(x*i)] . (4)

　　式中：[Φ(?)] 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的分布函數(shù)，而[?(?)] 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，[ux′i] 是隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化后的均值，[σx′i] 是隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化后的標(biāo)準(zhǔn)差。在得到當(dāng)量正態(tài)化后的變量均值與標(biāo)準(zhǔn)差之后便可以進(jìn)行可靠度計(jì)算。

　　2 CC算法與單純形法計(jì)算原理

　　2.1 CC算法

　　在可靠度計(jì)算方法中，經(jīng)典HL-RF算法由于其概念清晰、計(jì)算簡便等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于結(jié)構(gòu)可靠度求解，其核心思想是將結(jié)構(gòu)功能函數(shù)在第k個(gè)迭代點(diǎn)進(jìn)行一階泰勒展開，并使功能函數(shù)在第k+1個(gè)迭代點(diǎn)的函數(shù)值滿足[g(uk+1)=0] ，可得：

　　[g(uk)+?g(uk)T(uk+1-uk)=0] . (5)

　　令第k+1次迭代點(diǎn)到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下原點(diǎn)的距離為[βk+1] ，并取[uk] 點(diǎn)處梯度負(fù)方向的單位向量作為迭代選取方向，得：

　　[uk+1=-βk+1?g(uk)?g(uk)] . (6)

　　結(jié)合式(5)，可得：

　　[βk+1=g(uk)-?g(uk)Tuk?g(uk)] . (7)

　　式(6)與式(7)合稱為HL-RF算法，其在解決低非線性功能函數(shù)可靠度求解問題時(shí)計(jì)算效率很高，能夠在迭代過程中逐漸靠近收斂點(diǎn)。但是在解決高非線性功能函數(shù)時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)迭代振蕩，甚至不收斂的情況。

　　為了提高HL-RF算法的收斂性，楊迪雄[7]采用混沌控制學(xué)理論對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，提出了CC算法。該算法引入混沌控制因子對(duì)迭代過程中的振蕩情況進(jìn)行了控制，表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

　　[uk+1=uk+λC[F(uk)-uk]] ， (8)

　　[F(uk)=[?g(uk)]Tuk-g(uk)?g(uk)2?g(uk)] . (9)

　　式中：[C]代表n×n維對(duì)合矩陣，一般情況下取單位矩陣，[λ]是一個(gè)常數(shù)，代表混沌控制因子。通過上式可以發(fā)現(xiàn)，CC算法相較于經(jīng)典HL-RF算法而言，補(bǔ)充了迭代步長控制計(jì)算步驟。先通過HL-RF算法求解出[F(uk)]點(diǎn)，然后以本次迭代點(diǎn)[uk]為基點(diǎn)，將[uk]到[F(uk)]點(diǎn)的方向作為迭代方向，并在該迭代方向上選取一定的步長。如果[λ=0] ，則[uk+1=uk]，無法進(jìn)行迭代計(jì)算;如果[λ=1]，則可得[uk+1=F(uk)]，此時(shí)的迭代公式就變成了經(jīng)典HL-RF算法，所以[λ]的取值為0 ～ 1。為了保證收斂性，[λ]的取值一般設(shè)置為較小的常數(shù)，導(dǎo)致CC算法的步長較小，收斂速度較慢。如果能使CC算法初始計(jì)算點(diǎn)盡可能靠近MPP點(diǎn)，就可以減少計(jì)算量，加快算法整體收斂速度。

　　2.2 單純形法

　　單純形法是一種不將函數(shù)梯度信息作為下降方向的算法。該算法在計(jì)算初始階段，收斂速度較快，具有一定的計(jì)算優(yōu)勢，但是在貼近極限狀態(tài)面之后，計(jì)算速度反而開始下降，且單純形法是一種

　　用于計(jì)算無約束問題的算法，根據(jù)式(1)、式(2)可知，結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算屬于有約束問題。通過增廣乘子法可以將有約束的可靠度計(jì)算問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化模型[Mρ]。

　　[Mρ(X， r， ρ)=i=1n(Xi-μiσi)2+]

　　[r2j=1n[gj(Xi)]2+j=1nρjgj(Xi] [)]. (10)

　　式中：[ρ=[ρ1， ρ2， …， ρm]] 為拉格朗日乘子，[r]為罰函數(shù)的懲罰因子，[r2j=1n[gj(Xi)]2] 為乘子項(xiàng)，[j=1nρjgj(Xi)] 為懲罰項(xiàng)。

　　通過增廣乘子算法對(duì)功能函數(shù)與可靠度指標(biāo)計(jì)算公式進(jìn)行結(jié)合，使得單純形法可以用于可靠度問題的求解。該算法的基本思想是：根據(jù)未知變量的個(gè)數(shù)，選擇n+1個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成正單純形，分別計(jì)算正單純形的n+1個(gè)頂點(diǎn)函數(shù)值，對(duì)比優(yōu)劣，找到函數(shù)值最大的點(diǎn)及函數(shù)下降方向，據(jù)此來搜索新的點(diǎn)代替最大值點(diǎn)，依次更迭。在迭代點(diǎn)未接近極限狀態(tài)面時(shí)，[Mρ]優(yōu)化模型中的懲罰項(xiàng)發(fā)揮主要作用，迫使算法向極限狀態(tài)面逼近;而當(dāng)?shù)c(diǎn)逼近至極限狀態(tài)面附近，懲罰項(xiàng)與乘子項(xiàng)趨近于0，此時(shí)可靠度指標(biāo)的計(jì)算公式便可以發(fā)揮主要作用，使點(diǎn)通過迭代逐步逼近到最有可能失效點(diǎn)附近，并求得可靠度指標(biāo)，該算法的迭代示意圖如圖1所示。

　　圖1中，由x3、[x1]與x2 3個(gè)點(diǎn)共同組成一個(gè)單純形，3個(gè)點(diǎn)分別為單純形的3個(gè)頂點(diǎn)。x3為極差點(diǎn)，xc為反射基點(diǎn)，xD為反射點(diǎn)，xR為延伸點(diǎn)，xp為收縮點(diǎn)。

　　根據(jù)單純形法的基本思想，該理論只適合無約束函數(shù)的計(jì)算，而增廣乘子法可以將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，這樣單純形法就可以進(jìn)行可靠度求解。計(jì)算步驟如下所示：

　　Step 1 將[Mρ]作為目標(biāo)函數(shù)，選取均值點(diǎn)[x11=(x111， x112， …， x11n)T]作為初始點(diǎn)，并將其視為初始單純形的一個(gè)頂點(diǎn)，采用式(11)計(jì)算正單純形剩余頂點(diǎn)的坐標(biāo)[19]：

　　[x12=x11+(d1， d2， d2， …， d2)T，x13=x11+(d2， d1，d2，…， d2)T，x14=x11+(d2， d2， d1，…， d2)T， ? x1n+1=x11+(d2， d2， d2， …， d1)T.] (11)

　　其中，[d1=sn2(n+1+n-1)]，[d2=sn2]

　　[(n+1-1)]，[s]為初始正單純形的邊長。

　　Step 2 計(jì)算[n+1]個(gè)正單純形頂點(diǎn)的函數(shù)值，并找出其中的最好點(diǎn)[(][x1][)]與最差點(diǎn)[(][x3][)]，然后計(jì)算除最差點(diǎn)外剩余點(diǎn)的中心點(diǎn)xc，以此作為基點(diǎn)。

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