摘要：平面解析幾何是中學數(shù)學中很有特色的內(nèi)容，它的基本思想是用代數(shù)的方法解決幾何問題，我們很多人對這門課程的基本思想認識存在誤區(qū)，簡單理解成計算問題，學生不會解題，是因為運算的素養(yǎng)不夠。本文從研究減少計算量的策略入手，尋求在不同題設背景下方法的選擇，以達成解決問題的目標，從而提升數(shù)學運算素養(yǎng)。

　　關(guān)鍵詞：平面解析幾何;策略;減少計算量;運算素養(yǎng)

　　“圖形”和“數(shù)”是數(shù)學基本學習和研究的對象，貫穿我們整個學習過程，新教材把“幾何與代數(shù)"作為主線貫穿于整個高中課程，其中“幾何”的代表“解析幾何”，是用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的一門課程，是建立在坐標系的基礎上，“計算量大”是顯著的特點，因此學生只懂得“怎么算”還不夠，還要通過數(shù)形結(jié)合選擇恰當方法，制定合適的解題策略，以減少計算量，不但算得好，還要算得快，以理解運算對象，概括通性通法，從中感悟運算中蘊含的思想方法，從而提升運算素養(yǎng)。

　　一、深挖圖形的幾何性質(zhì)

　　幾何圖形是平面解析幾何研究的對象，而研究幾何對象的幾何特征是用代數(shù)方法解決問題之前要完成的工作，如掌握好基本幾何圖形(三角形、四邊形、圓等)的幾何性質(zhì)，以及基本幾何關(guān)系(平行、垂直、相交、相切等)，正是通過研究幾何對象，使得比較簡潔的“形”的性質(zhì)去轉(zhuǎn)化“數(shù)”的運算和推理，最后又讓

　　“形”的問題完美解決。

　　例如，已知直線l:y=x+a和圓C:x2+y+2y=0相交于不同兩點A，B，點P在直線1上，且滿足IPAI.PBI=2，當a變化時，求點P的軌跡方程。

　　利用圓的幾何性質(zhì)解法分析：圓C:x2 +y2+ 2y=0的圓心C(0，-1)，-1，PT為圓的切線，PA為圓的割線，由圓的切割線 定 理 ，如 圖 所 示 ，有 |PT|2= |PA| ·|PB|=2>1，故點 P 在圓 C 外，∴|PC|=|PT|2 + |CT|2= 3，即點P的軌跡是以(0，-1)為圓心， 3 為半徑的圓。 點 P 的 軌 跡 方 程 為 x2 + ( y + 1 )2 = 3。

　　本題的常規(guī)解法是由PA1-1PB1-2聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中1的幾何意義，雖然也很自然，運算量還是比較大的，如果不用直線的參數(shù)方程的方法，純代數(shù)方法通過設點表距離，更是“眼到手不到”。如果能夠利用平面幾何知識中有關(guān)圓的切割線定理，靈活運用平面幾何知識，解題則會事半功倍。在平常求解圓的問題時，若能充分揭示問題中的幾何關(guān)系，如切割線定理、圓冪定理、垂徑定理是圓的對稱性的反映，計算量將會大大減少。

　　二、巧用平面向量

　　進入高中我們學習一種全新的運算對象-向量，這是個既有大小又有方向的量，解析幾何中很多問題是以向量作為載體，把圖形的幾何性質(zhì)隱含在里面，也有直接求向量的問題。向量不僅當作運算對象，還要當作幾何的研究對象，在數(shù)量積的定義應用中體現(xiàn)很充分。

　　例如，過圓C:x2 +y2=R內(nèi)一定點M(xo.'o)作一動直線交圓C于兩點P，R，過坐標原點0作直線ON LPM于點N，過點P的切線交直線ON于點Q，求oiM.00的值。

　　利用向量數(shù)量積的幾何意義解法分析：由題意分析可知 PQ 為切線，則由切線性質(zhì)可知，如圖連接 OP，則 OP⊥PQ。但是 OQ⊥PR 于 N，根據(jù)直角三角形的射影性質(zhì)有：

　　本題常規(guī)解法是求數(shù)量積要么通過求模長和夾角，但其中可是變量，夾角也是變量，就不好求，如果通過點的坐標求數(shù)量積，點Q也不好表示，因此數(shù)量積也不好表示。而本題是與圓有關(guān)的問題可以優(yōu)先利用平面幾何知識，題設條件中既有垂線又有切線，容易構(gòu)成直角三角形，可以通過相似得到射影定理，故求兩向量的數(shù)量積容易想到直角三角形中成比例的線段即在的投影為1ON1三、靈活運用“設而不求解析幾何中一種最常用的策略是“設而不求”，其方法有觀察法、點差法，參數(shù)法、韋達定理等。指在解題時根據(jù)需要增設一些未知量以利于思考和解題，但在解題過程中并不要求出這些未知量，而是巧妙地“過河拆橋”。這種策略往往能避免盲目推演而造成無益的循環(huán)運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果。

　　例如，過點A(2，3)的直線L與拋物線C2：x2=4y交于B，C兩點，拋物線 C2 在點 B,C 處的切線分別為 l1,l2，且 l1,l2 交于點P，求點P的軌跡。

　　而本題利用觀察法求直線方程，其思路完全顛覆常規(guī)直線的做法，不是常規(guī)方法求直線方程，它對學生的觀察能力、直覺思維有更大的要求，但是卻能讓學生更加專注于問題分析，而不是大量計算。

　　當然，求解平面解析問題的策略遠不止以上幾種，如何通過分析，尋求最優(yōu)化的方法，這是需要在平常的解題中不斷總結(jié)和應用，當然求解問題時不可避免出現(xiàn)計算量大的問題，如何做到運算的準確、合理、簡潔，是需要方法和技巧，運算中的邏輯思維，比如消元、整體代換、構(gòu)造等等，只有思維能力得到提升，技巧才能得心應手，才能真正提升運算素養(yǎng)。

　　參考文獻

　　[1]史寧中，王尚志普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[s].北京：高等教育出版社，2018.

　　[2]張鶴·數(shù)學教學的邏輯：基于數(shù)學本質(zhì)的分析[M].北京：首都師范大學出版社，2016.

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文章名稱： 探索解析幾何問題中減少計算量的策略

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