摘 要：復阻尼模型與實驗結果吻合較好，但結構動力分析較為復雜.本文針對單自由度復阻尼耗能結構基于譜矩相等準則，即令復阻尼原始系統和等效系統的的零階和二階譜矩相等，得到單自由度復阻尼耗能結構的等效頻率和等效阻尼.將等效系統的計算結果與原始系統計算得到的精確解以及由經典的模態應變能法計算得到的結果進行比較，等效系統具有很高的精度.
關鍵詞：復阻尼結構;譜矩;等效頻率;等效阻尼;單自由度
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0 引言
復阻尼模型和粘滯阻尼模型是常見的阻尼模型[1-3]，在實際工程中的應用也較為廣泛.對于這些阻尼耗能結構，目前在世界范圍內進行抗震設防設計基本是基于反應譜的方法進行設計[4-5].地震動特性和阻尼器結構系統的動力特性兩者間的關系是抗震設計中的關鍵問題，這兩者之間關系在反應譜中都考慮進去了，因此要用合理的方法確定結構的等效阻尼.
相比于粘滯阻尼，復阻尼模型可以比較好的描述阻尼特性[6-8]，與實驗結果相對比，復阻尼模型也比較相符[9].振幅改變、應力等因素對實際應用的材料都有影響，并且材料的能量耗散也與之相關，相比于其他阻尼模型，復阻尼模型考慮到了這些的問題.因此，研究復阻尼耗能結構的地震分析以及其等效阻尼極其具有工程意義.
在對單自由度復阻尼耗能結構動力特性分析方面，已經有對其在頻域和時域的研究成果[10-13]，通過對比單自由度復阻尼結構時域精確解法與頻域解法之間的情況，分析了在求解過程中一些不恰當的做法，以及在進行時域計算時實部與虛部之間的影響.但大都是采用如精細積分法、Newmark-[β]、平均加速度等方法，尚未解決有關等效阻尼的算法，因反應譜法中需要涉及，本文提供了一種單自由度復阻尼結構的等效阻尼算法.
阻尼耗能結構的解析法分為擴階法和非擴階法.對于Maxwell、廣義Maxwell模型[14-15]，以及分數導數模型[16-17]，目前一般采用擴階法，此法可以比較快速獲得擴階的近似模型從而求得結構系統的解析解.但是在應用擴階法時，常常因其變量個數較多，導致在計算過程中效率降低.經典的模態應變能法[18-19]和強行振型解耦法[20]屬于非擴階法，這兩種方法在計算過程中采用了比較多的假設，其適用性和精確性有待提高.
在工程中大量運用的阻尼系統，其動力特性都是由其頻率響應函數決定[21].在此基礎上，本文重新構造了復阻尼耗能結構的基本分析方程，根據其頻率響應函數，基于譜矩相等的等效準則，即原始系統和等效系統的頻響函數的各階譜矩均相等，則兩個系統完全等效;如果兩個系統有限階譜矩也相等，則他們近似等效.因此令復阻尼原始系統和等效系統的零階和二階譜矩相等，求得單自由度復阻尼耗能結構的近似解析式以及等效阻尼和等效頻率.譜矩相等的準則在求解Maxwell阻尼器結構也有應用[22]，用譜矩法求解的優勢在于可以直接通過積分的方法求得其各階譜矩，為在分析其他各種阻尼耗能結構提供一種新思路.
1 復阻尼耗能結構的譜矩分析
復阻尼單自由度系統在地震激勵下，其運動方程為[10]：
[mx+k(1+iη)x=-mxg] (1)
式中，m——質量;k——剛度;i——虛數單位，i=[-1];[η]——耗損因子，且0<[η]<1;[x]——質點相對于地面位移;[xg]——地震動地面加速度.
方程(1)可以改寫為：
[x+ω20(1+iη)x=-xg] (2)
式中，
[ω20=km] (3)
方程(2)的頻率響應函數為：
[H(iω)=-1(iω)2+ω20(1+iη)] (4)
由隨機振動結構中的定義，可以得到頻率響應函數[H(iω)]的零階譜矩[I0]和二階譜矩[I2]表達式分別為：
[I0=-∞+∞ω0H(ω)2dω] (5)
[I2=-∞+∞ω2H(ω)2dω] (6)
式(5)、式(6)中，[·]表示求模.
將方程(4)代入方程(5)可求得：
[I0=-∞+∞ω0H(ω)2dω=π2ω30η1+1+η21+η2] (7)
同理，將方程(4)代入方程(6)可求得：
[I2=-∞+∞ω2H(ω)2dω=π2ω0η1+η2+1] (8)
2 復阻尼耗能結構的等效系統
2.1 等效系統的譜矩分析
假設結構系統(2)的等效系統為：
[x+2ξeωex+ω2ex=-xg] (9)
式中，[ωe、ξe]分別為結構系統待定的等效頻率和等效阻尼比(式(9)通常的阻尼結構都可以采用該類等效).
方程(9)的等效系統的位移頻率響應函數[Hxe(iω)]為：
[Hxe(iω)=-1ω2e+2ξeωe(iω)+(iω)2] (10)
由隨機振動譜矩的耗能結構的位移方程，可以求得等效系統的頻率響應函數[Hxe(iω)]的零階譜矩[I0e]和二階譜矩[I2e]解析式分別為：
[I0e=-∞∞ω0Hxe(iω)2dω=π2ξeω3e] (11)
[I2e=-∞∞ω2Hxe(iω)2dω=π2ξeωe] (12)
