【摘要】問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，教學(xué)培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng).問題始終伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是概念教學(xué)，更應(yīng)該注重與學(xué)生思維的連接.本文通過問題的設(shè)計(jì)，以核心素養(yǎng)為引領(lǐng)，旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義的理解、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.

　　【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動(dòng);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握

　　問題是促使數(shù)學(xué)發(fā)展的源動(dòng)力，數(shù)學(xué)上許多基本的、核心的概念與原理都是為了解決許許多多的實(shí)際問題而產(chǎn)生的.因此，在教學(xué)中教師應(yīng)以問題為中心，讓學(xué)生在解決問題的過程中形成相應(yīng)的概念與原理.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).因此，每一節(jié)數(shù)學(xué)課都蘊(yùn)含著提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的目的，也體現(xiàn)了學(xué)科育人的目的.本文著力于以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，滲透在任意角的三角函數(shù)定義的每一個(gè)環(huán)節(jié)，精心設(shè)計(jì)問題，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

　　一、任意角的三角函數(shù)定義的教學(xué)過程

　　1.情境引入，引出問題

　　問題1 點(diǎn)P為摩天輪上的任意一點(diǎn)，如何表示點(diǎn)P的位置?

　　設(shè)計(jì)意圖：在摩天輪模型中，通過對(duì)一點(diǎn)的觀察與分析，引導(dǎo)學(xué)生能夠用(x，y)和(r，α)兩種方式準(zhǔn)確描述出點(diǎn)的位置，并初步體會(huì)到兩者之間的關(guān)系，提高學(xué)生的觀察能力.

　　問題2 在直角坐標(biāo)系xOy中，同一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)和(r，α)之間有什么關(guān)系?為什么?

　　設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生了解在坐標(biāo)系中研究點(diǎn)的位置時(shí)，P點(diǎn)在第一象限時(shí)有如下結(jié)論：sin a=yr，

　　cos a=xr，r2=x2+y2，tan α=yx等，并讓學(xué)生聯(lián)想初中學(xué)過的三角函數(shù)的定義.

　　2.回顧舊知，找尋本質(zhì)

　　問題3 在初中，銳角A的正弦、余弦、正切值分別是如何定義的?

　　學(xué)生通過回憶：銳角A的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)都叫作角A的銳角三角函數(shù).

　　正弦(sin)等于對(duì)邊比斜邊：sin A=ac，

　　余弦(cos)等于鄰邊比斜邊：cos A=bc，

　　正切(tan)等于對(duì)邊比鄰邊：tan A=ab.

　　設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，為推廣任意角的三角函數(shù)做準(zhǔn)備.

　　通過前兩問的引導(dǎo)，學(xué)生已經(jīng)初步回憶起了銳角三角函數(shù)值的定義.教師此時(shí)再發(fā)問，學(xué)生可以回答得順理成章，也為本節(jié)課的任意角的三角函數(shù)進(jìn)行引入.

　　問題4 在直角坐標(biāo)系中，30°角的三角函數(shù)值怎么求?

　　設(shè)計(jì)意圖：將角置于直角坐標(biāo)系中時(shí)，學(xué)生會(huì)想到初中學(xué)過的三角函數(shù)的幾何定義，并取自己熟悉的30°角的直角三角形，在其斜邊上取點(diǎn)，取點(diǎn)依據(jù)是30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.教師帶領(lǐng)學(xué)生得出特殊點(diǎn)，比如P(3，1)，接著教師提問：還可以取其他點(diǎn)求嗎?探究發(fā)現(xiàn)：在30°角終邊上任取一點(diǎn)(x，y)，這些比值都相等;只要角確定，終邊就確定;只要角的終邊確定，三角函數(shù)值就不變;可以用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)等結(jié)論.

　　3.積累素材，建構(gòu)數(shù)學(xué)

　　問題5 在直角坐標(biāo)系中，你認(rèn)為390°角的三角函數(shù)值怎么定義?

　　設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)回到摩天輪模型中討論，結(jié)合直角坐標(biāo)系，得出390°和30°兩角終邊相同，三角函數(shù)值也對(duì)應(yīng)相等.教師創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過討論摒棄原先的概念，讓學(xué)生通過求390°角的三角函數(shù)值，體會(huì)用坐標(biāo)來表示三角函數(shù)的必要性和合理性，提高學(xué)生的探索能力，為引入任意角的三角函數(shù)的定義做準(zhǔn)備.

　　問題6 如何定義3π4角的三角函數(shù)值?

　　設(shè)計(jì)意圖：有了390°角三角函數(shù)的求法經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以在角的終邊上選點(diǎn)，按照坐標(biāo)相應(yīng)比值來計(jì)算，通過操作用坐標(biāo)來表示3π4的三角函數(shù)值，感受新定義的運(yùn)算.

　　問題7 如何定義任意角的三角函數(shù)?(給出任意角的三角函數(shù)的定義)

　　經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意角α，在其終邊上任意取一點(diǎn)P(x，y)，比值yr，xr，yx都是唯一確定的，因此得到

　　f1：α→yr——正弦：sin α=yr;

　　f2：α→xr——余弦：cos α= xr;

　　f3：α→yx——正切：tan α=yx(x≠0).

　　設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過討論能夠說出任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，體會(huì)坐標(biāo)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的推理過程，樹立勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新意識(shí).

　　4.函數(shù)思想，加深理解

　　問題8 sin α，cos α，tan α是α的函數(shù)嗎?

　　通過回顧函數(shù)的定義，討論得出結(jié)論：對(duì)于確定的角α，比值yr和xr都是唯一確定的，故正弦和余弦都是角α的函數(shù).當(dāng)α≠π2+kπ(k∈Z)時(shí)，對(duì)于確定的角α，比值yx也是唯一確定的，故正切也是角α的函數(shù).sin α，cos α，tan α分別叫作角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，以上三個(gè)函數(shù)我們都稱為三角函數(shù).

　　設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)的定義，分析得出三角函數(shù)是函數(shù)，將三角函數(shù)統(tǒng)一理解.

　　問題9 sin α，cos α，tan α的符號(hào)如何確定?

　　利用任意角的三角函數(shù)定義，根據(jù)角的終邊的位置判斷任意角的三角函數(shù)值的符號(hào).

　　設(shè)計(jì)意圖：通過函數(shù)的概念類比得到任意角的三角函數(shù)定義，對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的概念有進(jìn)一步的理解.

　　5.例題解決，鞏固所學(xué)

　　例1 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，-3)，求α的正弦值、余弦值、正切值.

　　例2 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào).

　　(1)cos 7π12 ;(2)sin(-465°) ;(3)tan11π3.1

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