摘 要： 針對(duì)傳統(tǒng)電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與理論值的均方誤差較大的問題，設(shè)計(jì)基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)。在傳統(tǒng)計(jì)算系統(tǒng)硬件的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)以FPGA為核心的積分計(jì)算系統(tǒng)硬件。以設(shè)計(jì)的系統(tǒng)硬件部分為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的軟件部分。使用傅里葉變換將頻域電磁場(chǎng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)域信號(hào)，根據(jù)留數(shù)定理，編寫程序?qū)r(shí)域內(nèi)的電磁信號(hào)函數(shù)積分求解，完成對(duì)計(jì)算系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。通過與傳統(tǒng)的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了設(shè)計(jì)的基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)的均方誤差更小，更具有優(yōu)越性。

　　關(guān)鍵詞： 時(shí)域; 電磁場(chǎng)數(shù)值; 積分計(jì)算; 系統(tǒng)設(shè)計(jì); 留數(shù)定理; 傅里葉變換

　　0 引 言

　　奧斯特發(fā)現(xiàn)通電磁體周圍存在磁場(chǎng)，建立了電磁場(chǎng)理論。電磁場(chǎng)是一種由帶電物體上的電荷運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，是電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互依存、不斷聯(lián)系的統(tǒng)一體。在電磁場(chǎng)中，能量以電磁波的形式存在。電磁場(chǎng)廣泛應(yīng)用在機(jī)電能量轉(zhuǎn)換、電力系統(tǒng)、通信、生物電磁學(xué)、電磁兼容以及信息存儲(chǔ)等工程領(lǐng)域。隨著近代科學(xué)的不斷發(fā)展，麥克斯韋建立的電磁場(chǎng)理論不斷被完善，求解電磁場(chǎng)數(shù)值的方法不斷發(fā)展，有限差分法、時(shí)域有限差分法、有限元法和矩量法是電磁場(chǎng)數(shù)值方法中比較重要的幾種方法[1?2]。計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展使這些電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法被大量的應(yīng)用。傳統(tǒng)的差分電磁場(chǎng)計(jì)算系統(tǒng)在對(duì)電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算時(shí)受自身局限性影響，不能對(duì)開區(qū)域電磁場(chǎng)的連續(xù)分布分量進(jìn)行求解。

　　留數(shù)定理是根據(jù)柯西定理在復(fù)分析中用來計(jì)算積分或曲線路徑。留數(shù)定理通過在函數(shù)孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開洛朗級(jí)數(shù)，經(jīng)過逐項(xiàng)積分得到近似解[3]。留數(shù)定理能夠提高積分計(jì)算精度，簡(jiǎn)化計(jì)算過程。因此，本文設(shè)計(jì)基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)。

　　1 基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)

　　在原有系統(tǒng)硬件基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)的硬件部分，采用FPGA作為硬件部分的核心，利用FPGA芯片內(nèi)部集成的大量可編程資源實(shí)現(xiàn)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)數(shù)值計(jì)算高精度的要求。

　　ALTERA公司的FPGA開發(fā)板如圖1所示，該開發(fā)板上的FPGA芯片內(nèi)存為270 KB，具有15個(gè)18×18 Multipliers乘法器、10個(gè)時(shí)鐘單元以及179個(gè)I/O接口。片內(nèi)的SPI FLASH可以存儲(chǔ)FPGA的配置文件以及計(jì)算過程中的緩存數(shù)據(jù)[4]。開發(fā)板上的JTAG接口可以通過該端口對(duì)FPGA進(jìn)行調(diào)試和程序固化。配置復(fù)位按鍵，可以在二次計(jì)算校驗(yàn)時(shí)，一鍵復(fù)位，避免重新下載相關(guān)程序。

　　FPGA通電后需要對(duì)FPGA進(jìn)行配置，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)階段本文采用JPGA模式配置FPGA。存儲(chǔ)在串行的PROM中的配置文件經(jīng)過JPGA串口，在配置時(shí)鐘信號(hào)CCLK控制下執(zhí)行配置操作。按照?qǐng)D2配置所示，將配置文件存儲(chǔ)在PC機(jī)中。經(jīng)過JPGA串口，從PC機(jī)處讀取配置文件并存入SRAM，實(shí)現(xiàn)對(duì)FPGA的配置[5]。基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，使用具有32位地址總線的PLB總線實(shí)現(xiàn)FPGA與PC機(jī)之間的通信。當(dāng)執(zhí)行軟件任務(wù)時(shí)，PC端將處理完畢的時(shí)域電磁場(chǎng)信號(hào)轉(zhuǎn)換后，輸入到FPGA完成積分計(jì)算。

　　2 基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)

　　2.1 電磁場(chǎng)數(shù)值時(shí)域轉(zhuǎn)換處理

　　電磁場(chǎng)時(shí)域數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)利用電磁場(chǎng)強(qiáng)度采集器采集電磁場(chǎng)強(qiáng)度信號(hào)。該信號(hào)是在頻域上的電磁場(chǎng)強(qiáng)度信號(hào)，為方便使用留數(shù)定理計(jì)算電磁場(chǎng)數(shù)值，需要對(duì)采集器信號(hào)進(jìn)行頻域?時(shí)域轉(zhuǎn)換[6?7]。

　　采用傅里葉變換法將頻域電磁場(chǎng)數(shù)值轉(zhuǎn)換為時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值。將電磁場(chǎng)數(shù)值函數(shù)看作一個(gè)線性不變的系統(tǒng)，則頻域與時(shí)域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

　　[ht=12π-∞+∞Hωeiωtdω] (1)

　　式中：[t]為時(shí)域時(shí)間，單位為[s];[ω]為頻域下電磁場(chǎng)運(yùn)行時(shí)的角頻率，單位為[rad/s];[H]為當(dāng)前電磁場(chǎng)運(yùn)行時(shí)的磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位為[Am];[i]為復(fù)數(shù)下的虛數(shù)單位，滿足[i2=1，i<0]。傅里葉變換下電磁場(chǎng)數(shù)值的時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示[8?9]。

　　傅里葉變換使用正弦波疊加完成，隨著疊加的遞增，正弦波中上升部分讓原本增加的曲線不斷變陡，而下降部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分，使其變?yōu)樗骄€，最終疊加形成一個(gè)矩形，多個(gè)矩形連接就變成了時(shí)域上的脈沖信號(hào)[10?11]。

　　傅里葉變換將復(fù)頻域內(nèi)的信號(hào)函數(shù)投影至實(shí)數(shù)空間的頻域中，再將信號(hào)函數(shù)的各頻率進(jìn)行成分累計(jì)，轉(zhuǎn)換成時(shí)域上的信號(hào)。因此，只要確定了頻域中電磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度就可以通過傅里葉變換，轉(zhuǎn)換為時(shí)域中的信號(hào)[12?13]。

　　根據(jù)麥克斯韋的微分方程，在時(shí)域內(nèi)使用中心差分法近似離散得到直角坐標(biāo)下的麥克斯韋方程，如下：

　　[?Hz?y-?Hy?z=ε?Ex?t+σEx?Hx?z-?Hz?x=ε?Ey?t+σEy?Hy?x-?Hx?y=ε?Ez?t+σEz?Ez?y-?Ey?z=-μ?Hx?t?Ex?z-?Ez?x=-μ?Hy?t?Ey?x-?Ex?y=-μ?Hz?t] (2)

　　式中：[E]為產(chǎn)生電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，單位為[Vm];[ε]為電磁場(chǎng)中電磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率;[σ]為電磁場(chǎng)中電磁介質(zhì)的介電常數(shù);[μ]為電磁場(chǎng)中電磁介質(zhì)的電導(dǎo)率[14]。使用傅里葉變換對(duì)電磁場(chǎng)數(shù)值做時(shí)域轉(zhuǎn)換，并得到差分形式的麥克斯韋方程后，根據(jù)留數(shù)定理，求解時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分結(jié)果。

　　2.2 留數(shù)定理求解時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分

　　電磁場(chǎng)數(shù)值函數(shù)路徑會(huì)圍成一個(gè)封閉或半封閉的區(qū)域，留數(shù)定理是將除區(qū)域上的有限個(gè)奇點(diǎn)外的區(qū)域解析。即若電磁場(chǎng)數(shù)值函數(shù)路徑圍成區(qū)域?yàn)閇B]，區(qū)域[B]上有限個(gè)孤立奇點(diǎn)[b1，b2，…，bn]，則函數(shù)[fz]圍成路徑的積分計(jì)算形式如下：

　　[lfzdz=2πij=1nRes fbj] (3)

　　式中：[z]為時(shí)域下電磁場(chǎng)數(shù)值函數(shù)的變化量;[Res fbj]為時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值函數(shù)圍成區(qū)域[B]上的留數(shù)點(diǎn)函數(shù)[15]。根據(jù)上述定理，編寫計(jì)算器的計(jì)算程序，完成使用留數(shù)定理計(jì)算時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算。

　　3 實(shí) 驗(yàn)

　　為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)系統(tǒng)的性能，設(shè)計(jì)了相關(guān)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

　　3.1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

　　實(shí)驗(yàn)測(cè)試組為本文設(shè)計(jì)的基于留數(shù)定理的時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值積分計(jì)算系統(tǒng)，參考組為傳統(tǒng)的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)對(duì)比指標(biāo)為2組系統(tǒng)計(jì)算時(shí)域電磁場(chǎng)數(shù)值的均方誤差。對(duì)比實(shí)驗(yàn)對(duì)象為矩形區(qū)域內(nèi)不同強(qiáng)度的電磁場(chǎng)。

　　3.2 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

　　選用矩形金屬槽，使用電磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)儀在金屬槽內(nèi)產(chǎn)生電磁場(chǎng)。通過電平控制輸入電流的大小來控制電磁場(chǎng)的強(qiáng)度。實(shí)驗(yàn)環(huán)境見圖4。

　　將電磁場(chǎng)強(qiáng)度采集器放置在指定位置，在實(shí)驗(yàn)過程中，由采集器將采集的電磁場(chǎng)強(qiáng)度輸入測(cè)試組和參考組兩個(gè)計(jì)算系統(tǒng)中，完成對(duì)電磁場(chǎng)數(shù)值的計(jì)算。在計(jì)算機(jī)上安裝數(shù)據(jù)處理軟件，分析兩組計(jì)算系統(tǒng)的均方誤差，并輸出。

　　3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖5，曲線A為傳統(tǒng)系統(tǒng)計(jì)算電磁場(chǎng)數(shù)值的均方誤差曲線，曲線B為本文設(shè)計(jì)系統(tǒng)計(jì)算電磁場(chǎng)數(shù)值的均方誤差。

　　由圖5可知，曲線A要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于曲線B，兩條曲線的整體趨勢(shì)都是先上升后下降;曲線A是先增加再減小，然后小幅度的增加后一直減少，曲線A和曲線B都減小到一定數(shù)值后不再變化，但是曲線A的最低值要高于曲線B的最低值;曲線A波動(dòng)較大，曲線B比較平穩(wěn)。相比傳統(tǒng)系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)系統(tǒng)的計(jì)算均方誤差更小，更具有優(yōu)越性。

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