摘 要：當(dāng)前，用于預(yù)測(cè)疲勞裂紋擴(kuò)展的方法多種多樣，但無(wú)論哪一種裂紋擴(kuò)展方法，都是以擴(kuò)展點(diǎn)的擴(kuò)展代替整個(gè)裂紋的擴(kuò)展。因此，對(duì)擴(kuò)展點(diǎn)的優(yōu)化具有重要意義。考慮到遺傳算法對(duì)多參數(shù)優(yōu)化具有較好的效果，基于遺傳算法對(duì)擴(kuò)展點(diǎn)的個(gè)數(shù)和分布進(jìn)行了優(yōu)化研究;引進(jìn)了“位置比”這個(gè)概念，以最外側(cè)擴(kuò)展點(diǎn)的位置比表征擴(kuò)展點(diǎn)的分布;介紹了一種裂紋擴(kuò)展的數(shù)值方法，計(jì)算數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，取該誤差的倒數(shù)作為個(gè)體適應(yīng)度。結(jié)果表明，當(dāng)擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)和最外側(cè)擴(kuò)展點(diǎn)位置比分別為11和0.95時(shí)，個(gè)體適應(yīng)度最高，數(shù)值預(yù)測(cè)精度最好。

　　關(guān)鍵詞：遺傳算法;裂紋擴(kuò)展;擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù);位置比;優(yōu)化

　　引言(Introduction)

　　工程構(gòu)件在生產(chǎn)、安裝、使用過(guò)程中，難免會(huì)受到擠壓、劃傷等，造成表面損傷。在循環(huán)荷載作用下，這些表面損傷將演變?yōu)楸砻媪鸭y，最終斷裂，從而導(dǎo)致構(gòu)件失效。因此，研究表面裂紋的擴(kuò)展機(jī)理具有很大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義[1-4]。LIN等[5]、WU[6]通過(guò)三次樣條曲線擬合表面裂紋擴(kuò)展形狀，而NEWMAN等[7]、SONG等[8]和LIU等[9]則通過(guò)橢圓弧擬合表面裂紋擴(kuò)展形狀，雖然他們使用的裂紋擴(kuò)展方法不同，但都是通過(guò)對(duì)擴(kuò)展點(diǎn)的擬合得到擴(kuò)展結(jié)果的。因此，對(duì)擴(kuò)展點(diǎn)的優(yōu)化具有重要意義。

　　遺傳算法作為一種最優(yōu)算法，在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用[10-12]。隨著遺傳算法的不斷完善，其應(yīng)用的領(lǐng)域也越來(lái)越廣[13-16]。考慮到遺傳算法對(duì)多參數(shù)優(yōu)化具有較好的優(yōu)化效果，本文基于遺傳算法對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程中的擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)與分布進(jìn)行了優(yōu)化研究。

　　2 裂紋擴(kuò)展方法(Crack growth method)

　　2.1 位置比的確定

　　圖1是位置比的示意圖，其定義如式(1)所示，其中代表裂紋上的任何點(diǎn)p到裂紋最深點(diǎn)的距離，代表表面點(diǎn)到裂紋最深點(diǎn)的距離。對(duì)于一個(gè)給定的裂縫，因?yàn)樽钌畹狞c(diǎn)和表面點(diǎn)是固定的，也是固定的。點(diǎn)p的位置發(fā)生變化，也發(fā)生變化，從而使R發(fā)生變化。換句話說(shuō)，每一個(gè)點(diǎn)p的位置對(duì)應(yīng)一個(gè)R，反過(guò)來(lái)，給出一個(gè)R也就能確定點(diǎn)p的位置。

　　2.2 裂紋擴(kuò)展步驟

　　當(dāng)裂紋從第條裂紋擴(kuò)展到第 條裂紋時(shí)，其裂紋擴(kuò)展示意圖如圖2所示。

　　其具體步驟如下：

　　(1)在第條裂紋上取N 個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)，其坐標(biāo)為，代表第個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)，其取值為1到N。

　　(2)計(jì)算第 個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)的擴(kuò)展步長(zhǎng)。其中是第條裂紋上的第 個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅，是第條裂紋上的第1 個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅。是第1 個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)的擴(kuò)展量。

　　(3)根據(jù)擴(kuò)展點(diǎn)垂直于當(dāng)前裂紋，求出擴(kuò)展后的第 個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)pj，其坐標(biāo)為。

　　(4)根據(jù)每個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)擴(kuò)展后的坐標(biāo)，擬合出第 條裂紋。

　　(5)將第條裂紋上的擴(kuò)展點(diǎn)垂線與第 條裂紋的交點(diǎn)作為第 條裂紋的擴(kuò)展點(diǎn)，其坐標(biāo)為。

　　由于第1 條裂紋是已知的，從而可以得出第2 條裂紋，依次迭代可以得出整個(gè)擴(kuò)展過(guò)程的所有裂紋。

　　3 數(shù)值結(jié)果處理(Numerical result processing)

　　考慮到優(yōu)化時(shí)需要一個(gè)優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，因此提出一種可以量化數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差的方法。其原理是用一條曲線擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，然后以擬合曲線與數(shù)值曲線的接近程度作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)源于TORIBIO等人[17]。

　　3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的處理

　　圖3是用Origin軟件擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后的結(jié)果圖。圖3中的擬合結(jié)果如表1所示。則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線的方程為：

　　3.2 數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差計(jì)算

　　經(jīng)過(guò)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以用一條曲線代替，而數(shù)值結(jié)果也能用一條曲線表示，因此，可以將數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差用兩條曲線的誤差代替。其示意圖如圖4所示，具體步驟如下：

　　(1)將數(shù)值結(jié)果中的n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連接起來(lái)。

　　(2)在實(shí)驗(yàn)擬合曲線中取出n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，保證兩條曲線中的n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對(duì)裂紋深度相同。

　　(3)計(jì)算兩條曲線中n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對(duì)裂紋弦長(zhǎng)差。

　　(4)計(jì)算兩條曲線的誤差。

　　4 基于遺傳算法的研究方法(Research method based on genetic algorithm)

　　遺傳算法的優(yōu)化目標(biāo)包括擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)和擴(kuò)展點(diǎn)分布，其中擴(kuò)展點(diǎn)分布是通過(guò)最外側(cè)擴(kuò)展點(diǎn)的位置比實(shí)現(xiàn)的。遺傳算法所選取的種群個(gè)數(shù)為8，實(shí)現(xiàn)步驟可以分為六步，即編碼、解碼、求解適應(yīng)度、復(fù)制、交叉、變異。

　　(1)編碼

　　根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)一般小于20，擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)范圍選為3—18，共16 種選擇;而擴(kuò)展點(diǎn)位置比為0.11、0.23、0.35、0.47、0.59、0.71、0.83和0.95，共八種選擇。

　　因此，染色體位數(shù)選擇為七位，前四位代表擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)，后三位代表位置比，相對(duì)應(yīng)的關(guān)系如表2和表3所示。可以將相關(guān)參數(shù)轉(zhuǎn)換成染色體編號(hào)。

　　(2)解碼

　　解碼規(guī)則與編碼規(guī)則是相對(duì)應(yīng)的，可以根據(jù)染色體編號(hào)通過(guò)查詢表2和表3獲得對(duì)應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。

　　(3)求解適應(yīng)度

　　每個(gè)個(gè)體中的染色體都能通過(guò)解碼找到其對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置比，通過(guò)這兩個(gè)參數(shù)就能得到相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，再將數(shù)值結(jié)果進(jìn)行處理，就得到了數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，最后取誤差的倒數(shù)作為該個(gè)體的適應(yīng)度。

　　(4)復(fù)制

　　將種群中適應(yīng)度最低的個(gè)體用適應(yīng)度最高的個(gè)體替代，就是更新后的種群。

　　(5)交叉

　　種群中個(gè)體與個(gè)體間有一定概率發(fā)生部分染色體交換的情況，用MATLAB實(shí)現(xiàn)的代碼如圖5所示。

　　(6)變異

　　除了個(gè)體與個(gè)體之間的交換會(huì)改變?nèi)旧w外，每個(gè)個(gè)體自身的變異也會(huì)改變?nèi)旧w的編號(hào)，用MATLAB實(shí)現(xiàn)的代碼如圖6所示。

　　5 種群進(jìn)化(Population evolution)

　　首先，種群的第一代個(gè)體所對(duì)應(yīng)的染色體編號(hào)由電腦隨機(jī)生成，其相關(guān)信息如表4所示。個(gè)體3適應(yīng)度最小，個(gè)體4適應(yīng)度最大。

　　將第一代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第二代種群，其相關(guān)信息如表5所示。個(gè)體3適應(yīng)度最小，個(gè)體8適應(yīng)度最大。

　　將第二代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第三代種群，其相關(guān)信息如表6所示。個(gè)體8適應(yīng)度最小，個(gè)體4適應(yīng)度最大。

　　將第三代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第四代種群，其相關(guān)信息如表7所示。個(gè)體1適應(yīng)度最小，個(gè)體3適應(yīng)度最大。

　　將第四代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第五代種群，其相關(guān)信息如表8所示。個(gè)體3適應(yīng)度最小，個(gè)體5適應(yīng)度最大。

　　將第五代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第六代種群，其相關(guān)信息如表9所示。個(gè)體2適應(yīng)度最小，個(gè)體1適應(yīng)度最大。

　　將第六代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第七代種群，其相關(guān)信息如表10所示。個(gè)體6適應(yīng)度最小，個(gè)體2和個(gè)體3適應(yīng)度最大。

　　將第七代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第八代種群，其相關(guān)信息如表11所示。個(gè)體3適應(yīng)度最小，個(gè)體2和個(gè)體6適應(yīng)度最大。

　　6 結(jié)果與討論(Results and discussion)

　　將每代種群中最高的個(gè)體適應(yīng)度作為該代種群中最佳適應(yīng)度，從而可以得到種群中最佳適應(yīng)度與種群迭代次數(shù)的關(guān)系，如圖7所示。從圖7中可以看出，當(dāng)種群從第五代開(kāi)始，種群中最佳適應(yīng)度就一直維持在同一個(gè)水平。說(shuō)明此時(shí)的種群已經(jīng)進(jìn)化到最佳狀態(tài)，則種群中最佳適應(yīng)度對(duì)應(yīng)的個(gè)體就是最佳個(gè)體，其對(duì)應(yīng)的染色體編號(hào)為1000111，經(jīng)過(guò)解碼后，得知其對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置比分別為11和0.95。

　　對(duì)于擴(kuò)展點(diǎn)，當(dāng)擴(kuò)展點(diǎn)較少時(shí)，用于預(yù)測(cè)下一條裂紋的擬合數(shù)據(jù)較少，導(dǎo)致誤差偏大;而當(dāng)擴(kuò)展點(diǎn)較多時(shí)，由于在模型計(jì)算中劃分網(wǎng)格精度不高，計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅誤差偏大，從而使得單個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)精度不足，進(jìn)而誤差也偏大。對(duì)于位置比，位置比越大，最外側(cè)擴(kuò)展點(diǎn)越接近圓柱體表面，擴(kuò)展點(diǎn)在整個(gè)裂紋前沿的分布范圍也越廣，也就越有利于減小誤差。

　　7 結(jié)論(Conclusion)

　　本文通過(guò)遺傳算法對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程中擴(kuò)展點(diǎn)的個(gè)數(shù)和分布進(jìn)行了優(yōu)化研究。具體結(jié)論如下：

　　(1)引進(jìn)了位置比的概念，通過(guò)改變位置比實(shí)現(xiàn)對(duì)擴(kuò)展點(diǎn)分布的改變。介紹了疲勞裂紋擴(kuò)展方法，通過(guò)該方法可以實(shí)現(xiàn)在不同擴(kuò)展點(diǎn)個(gè)數(shù)和分布下的數(shù)值擴(kuò)展。