摘 要 CVOFLS方法(Coupled Volume of Fluid and Level Set method)繼承了VOF和Level Set兩種方法的優(yōu)點，以VOF函數(shù)為主體模擬流體運動界面，通過Level Set函數(shù)校正界面法向，從而有效克服兩種方法的不足。多渦剪切流場數(shù)值模擬算例表明，該方法能保證較好的運動界面模擬精度以及較高的計算效率。

　　關(guān)鍵詞 運動界面 CVOFLS 模擬精度

　　現(xiàn)實生活中很多現(xiàn)象與運動界面密切相關(guān)，如水滴下落、氣體爆炸等問題[1]，因此，研究運動界面的數(shù)值模擬具有深遠意義。在歐拉方法中，Level Set方法[2]和VOF方法[3]因其內(nèi)存占用小，易解決結(jié)構(gòu)復(fù)雜的流體運動界面問題以及實現(xiàn)簡單等優(yōu)點而被廣泛采用。基于此，有學(xué)者提出了耦合兩類方法優(yōu)點的CLSVOF方法。

　　孫東亮等[4]于2010年給出了一種新的CLSVOF方法，該方法雖然簡化了原始的CLSVOF方法，但其方法理論以及重構(gòu)界面的過程比較復(fù)雜。李強等[5]于2011年創(chuàng)造了一種全新的CLSVOF方法。該方法自帶質(zhì)量校正公式，并且計算自由運動界面精度很好，但其計算效率不高。

　　Level Set方法在模擬運動界面方面會計算得到更為準確界面法向和曲率，又考慮到VOF方法具有計算效率高以及質(zhì)量守恒性好的優(yōu)點和界面法向與曲率較差的缺點;因此，若將Level Set方法耦合到VOF方法中，便可克服其缺陷。本文采用了耦合Level Set與VOF的新方法─CVOFLS方法[6]，并通過對多渦剪切流場問題的模擬，驗證了CVOFLS方法效率更高，界面守恒性更好。

　　1 輸運方程

　　CVOFLS方法是一種新的耦合VOF與Level Set方法。運動介質(zhì)的速度場為u(u，v)，Level Set函數(shù)φ(X，t)以及VOF函數(shù)F(X，t)所滿足的輸運方程表達式分別如下：

　　CVOFLS方法中采用周文等[7]的數(shù)值方法對方程(1)和(2)進行離散。

　　Level Set函數(shù)的運算過程中需對函數(shù)φ(X，t)進行重新初始化，進而獲得新的點X到界面的符號距離函數(shù);該方法可以保證Level Set函數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性，并使得其在求解域內(nèi)具有優(yōu)良的光滑性。

　　對方程(3)進行離散得到的穩(wěn)態(tài)解來重新初始化符號距離函數(shù)。其中是偽時間，使用近似計算sign(φ0)，、為離散坐標下的x軸與y軸的空間步長。

　　2 數(shù)值方法

　　2.1 VOF輸運方程的離散

　　為了計算方便，方程(2)可寫為守恒形式：

　　Sussman和Puckett[8]提出用通量分裂算法來求解方程(4)，其離散形式如下：

　　其中：

　　2.2 Level Set輸運及重新初始化方程的離散

　　2.2.1 空間離散

　　方程(1)和方程(3)同屬于Hamilton-Jacobi型方程。

　　其中Level Set函數(shù)方程(1)可寫為：

　　其在Hamilton-Jacobi型方程中：

　　對應(yīng)的通量為：

　　其中，方程(3)可寫為：

　　其Hamilton-Jacobi型方程中：

　　對應(yīng)的通量為：

　　其中：

　　Jiang和Peng[9]專門針對Hamilton-Jacobi型方程求解，給出了經(jīng)典的五階WENO(Weighted Essentially Non-Os cillatory)格式。故本文空間離散采用該格式，進而可得該方程的離散形式[10]：

　　其中文獻[8]給出了，，，的表達式及詳細推導(dǎo)過程，文獻[9]提供了詳細的方程(3)的離散形式。

　　2.2.2 時間項離散

　　采用三階TVD-R-K(Total Variation Diminishing Ru-nge-Kutta)格式對方程(1)、(3)進行離散，可以有效避免數(shù)值振蕩，其表達式為：

　　其中，。對于Level Set方程(1)，;對于重新初始化方程(3)， 。

　　3 數(shù)值算例

　　為了驗證本文提出的CVOFLS方法的有效性，下面以模擬多渦剪切流場的界面運動為例，檢驗CVOFLS方法的模擬效果，即考察圓心在(0.5，0.5)、半徑為0.15的圓在速度場中的運動情況，整個流場計算區(qū)域為[0，1]×[0，1]，時間步長為0.002s。

　　其中t為模擬時間，T為多渦剪切流場的周期。

　　圖1、圖2分別給出了周期T=1s和T=2s時采用CVOFLS方法模擬多渦剪切流場的數(shù)值結(jié)果。由圖可知，CVOFLS方法在T=1s時模擬的數(shù)值結(jié)果與初始時刻的結(jié)果基本重合，表明其具有很好的穩(wěn)定性及守恒性。而在T=2s時模擬的數(shù)值結(jié)果效果良好，具有較好的守恒性。

　　4 結(jié)論

　　數(shù)值結(jié)果表明：CVOFLS方法對多渦剪切流場的數(shù)值模擬效果良好，其數(shù)值結(jié)果驗證了CVOFLS方法的準確性，同時表明該方法在數(shù)值界面模擬方面，具有更高的計算效率以及更好的界面模擬精度。

　　參考文獻：

　　[1] 劉儒勛，王志峰.運動界面追蹤與數(shù)值方法[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2001.

　　[2] Osher S.，Sethian J.A. Fronts propagating with curv ature dependent speed： algorithms based on Hamilton-Jacobi formulat- ion[J].Journal of Computational Physics，1988，79(01)：12-49.