摘要：基于向量式有限元法對空間格構柱受載荷下的屈曲行為進行數值分析，編制屈曲分析的數值計算程序，通過屈曲平衡路徑追蹤獲得失穩臨界載荷，探討不同加載控制方法對計算結果的影響。考慮材料非線性的影響，對5層空間格構柱的載荷屈曲過程進行分析，獲得載荷位移全過程曲線，并與格構柱的加載破壞試驗進行對比，結果表明：向量式有限元采用位移控制法能夠較好地分析空間格構柱的屈曲失穩破壞過程，獲取準確的極限穩定承載力。

　　關鍵詞：向量式有限元; 位移控制; 空間格構柱; 屈曲; 失穩

　　0 引 言

　　格構柱結構能充分利用構件性能、節約材料，在工程中應用廣泛。格構柱構件眾多，結構高聳且柔度較大，因此整體屈曲破壞前易發生局部構件的屈曲失穩，結構穩定性問題一直是研究的難點。[1]理論分析和有限元法等可為分析失穩問題提供有力支撐。田偉等[2]和趙東東等[3]通過彈性屈曲分析和考慮大變形的彈塑性非線性分析，考察格構柱的穩定性能，但計算過程中需要集成剛度矩陣和求解大量非線性方程，對復雜格構式結構的屈曲路徑跟蹤仍有一定困難[4]。一般有限元屈曲分析需要先進行預應力分析，再不斷更新結構初始屈曲形態，該方法計算效率較低且容易遇到求解不收斂的問題。

　　向量式有限元法是結合向量力學和有限元概念提出的一種力學計算方法，能夠有效求解結構的彈塑性、屈曲失穩、碰撞和倒塌等復雜力學行為。[56]因為該方法的研究對象是結構的眾多質點，不需要集成剛度矩陣和迭代求解非線性方程，所以在結構穩定性分析中不需要特殊處理即可越過極值點，能夠有效跟蹤屈曲和后屈曲變形的全過程。[7]利用該優勢，在格構式結構的屈曲失穩破壞研究中，李阿龍等[8]分析結構屈曲路徑時提出一種先利用非線性力法預測結構位移方向、再通過向量式有限元法進行修正的方法。陳沖[9]運用向量式有限元梁單元理論，分析格構式結構受到外界載荷沖擊后從局部失效到整體倒塌的全過程力學特性。姚旦等[10]利用向量式有限元法研究某大跨越格構式輸電塔在風載荷作用下的失穩倒塌問題。這些研究對空間格構式結構的向量式有限元屈曲分析多采用簡化的桿單元，大部分沒有考慮材料非線性的影響，未能充分利用載荷位移曲線考察結構整體和局部屈曲、失穩的實際過程。

　　本文基于向量式有限元梁單元理論，利用MATLAB編制計算程序，研究空間格構柱的屈曲破壞過程。通過LEE框架算例討論位移控制和力控制2種加載方式對分析結果的影響。在考慮材料非線性的基礎上，分析5層空間格構柱的彈塑性屈曲破壞過程。

　　1 向量式有限元基本原理

　　向量式有限元結構分析基于點值描述、途徑單元和逆向運動等3個基本過程。首先，將結構的空間形態用有限數量的點描述，生成節點和單元;然后，通過牛頓運動定律控制節點運動，利用單元逆向運動獲取純變形以計算內力，通過坐標轉換確定方向;最后，將在一時間段內結構的運動變形劃分為多個時間微段的途徑單元，每個途徑單元都更新局部坐標系，實現結構位置形狀的逐步更新。

　　向量式有限元結構計算流程如下：

　　(1)確定結構的材料、截面性質、阻尼、計算步長和總時長等參數。

　　(2)將結構劃分為節點和梁單元。

　　(3)通過中央差分控制方程計算節點的運動。

　　(4)由逆向運動獲得單元的純變形，并確定內力的大小和方向。

　　(5)更新控制方程中的外力和內力。

　　(6)判斷是否達到計算終止時間：若否，則重復第(3)～(5)步;若是，則輸出分析結果。

　　力控制分析和位移控制分析是2種基本的分析方法。力控制法以力為自變量，通過控制方程計算位移響應;位移控制法以節點的位移為自變量，通過節點的反力反求其內力。在屈曲分析中，2種方法各有優劣，應合理選擇。

　　1.1 控制方程及其求解

　　向量式有限元法的研究對象是一系列空間質點，故其控制方程是一組由牛頓運動定律得到的點運動公式，并運用顯式的中央差分公式進行求解。單個質點的平動和轉動微分方程分別為

　　式中：m和I分別為質點的質量和質量慣性矩;x和θ分別為質點的線位移和角位移;F和M分別為作用在質點上的力和力矩。

　　將上述運動控制方程轉化為中央差分形式，即

　　式中：h為時間增量的步長，可設其為常數;下標中的n表示步數。根據胡克定律，受力后的無阻尼結構將維持持續振動狀態，因此在方程中加入虛擬的計算阻尼力，上述差分公式變為

　　1.2 梁單元內力計算

　　向量式有限元結構分析中的梁單元分為平面梁單元和空間梁單元2種。平面梁單元的節點位移有3個分量，包括2個平移量和1個轉動量，單元內力除軸向力外還有1組剪力和彎矩。空間梁單元節點分量包括3個平移量和3個轉動量，經過簡化后，單元內力包括軸力、扭矩，以及剪力和彎矩各2組。另外，平面梁單元局部坐標系中的1個主軸方向(垂直于運動平面)不發生變化，而空間梁單元局部坐標系中3個主軸方向均會發生改變。

　　單元內力大小與純變形有關。向量式有限元法利用逆向運動概念計算純變形，建立局部坐標系并根據虛功原理計算內力大小和方向，再通過正向運動(坐標轉換)讓內力方向回到原來的位置，單元逆向運動示意見圖1。若桿單元1a2a經運動變形到達12，則令12進行虛擬的逆向運動，包括平移(-u1)和轉動(-θ)，可得到桿件的純變形，即長度變化Δ。

　　對于梁單元，其純變形除線位移外還包括角位移。梁單元由ta運動至t的變形示意見圖2，其中u1為節點1的位移。節點1和2的轉角θ1、θ2分別為β1a與β1和β2a與β2的差量，單元12對1a2a的轉角θ為剛體轉角。在節點轉角θ1和θ2中，一部分為單元的剛體轉角，另一部分為單元自身幾何變形產生的彎角，由此可得到梁單元2個節點的彎角，即純變形1和2為

　　1.3 材料非線性

　　在結構的破壞過程中，一般同時伴隨著幾何和材料的非線性問題，只有同時考慮幾何大變形和材料彈塑性，才能比較真實地反應結構屈曲破壞過程。

　　為分析方便，采用雙線性強化彈塑性材料模型，見圖3。在應力達到屈服應力σy之前材料為完全彈性，應力應變曲線的斜率為彈性模量E;應力達到屈服應力后材料進入塑性階段，應力應變曲線斜率為切線模量Et，一般可取Et=0.03E。

　　2 LEE框架算例

　　LEE框架示意見圖4，其受力變形過程具有顯著的非線性特征。

　　框架邊長L=120 mm，截面積A=6 mm2，截面慣性矩I=2 mm4，彈性模量E=7.2 MPa。在構件水平段距左端0.2L處加載豎直方向的力F。

　　用向量式有限元將框架劃分20個單元進行分析，分別運用力控制和位移控制加載形式跟蹤結構的平衡路徑。

　　分別利用ANSYS和向量式有限元法的位移控制和力控制分析，得到加載點的載荷位移曲線，見圖5。本算例屬于躍越失穩類型，隨著作用力的增大，結構的受力和位移先穩定上升，此時3條載荷位移曲線吻合較好;在位移約49.8 mm時達到臨界狀態(曲線極值點)，之后框架發生躍越翻轉，ANSYS分析和位移控制曲線均開始下降，此時結構呈現負剛度狀態，盡管兩者此時沒有吻合，但該下降段代表結構處于不穩定的平衡狀態，載荷位移曲線并不具有實際意義;當力控制曲線越過失穩載荷值后，微小的力增量會引起結構位移的徒增，該段并非結構的平衡路徑;在結構失穩翻轉后，其變形緩慢增大，3條曲線再次吻合。

　　由ANSYS分析得到的失穩載荷為18.8 kN，向量式有限元法位移控制分析得到載荷為19.1 kN，二者誤差僅為1.6%。向量式有限元法位移控制屈曲分析能夠有效越過極值點，并追蹤結構屈曲和后屈曲過程的平衡路徑，而力控制分析相對沒有此優勢。因此，應用向量式有限元法進行屈曲分析應盡量采用位移控制方式。

　　3 空間格構柱的屈曲過程分析

　　5層空間格構柱的有限元模型[11]見圖6，該格構柱由主肢桿、水平桿和斜綴條組成。桿件長度均為120 mm，截面均為8.0 mm×1.9 mm，材料為6061鋁合金，彈性模量為68.9 GPa，受壓屈服強度為55.2 MPa，泊松比為0.33。

　　格構柱底端固定，在頂端豎直向下施加載荷并限制頂端節點的水平位移，運用向量式有限元法空間梁單元進行仿真分析。為提高計算效率，將每個桿件劃分為3個單元，模型共有192個單元和152個節點。采用位移控制加載方式，加載速度為2.5×10-3 mm/s。

　　格構柱受載屈曲過程具有顯著的幾何非線性和材料非線性特點。向量式有限元法分析時，以前一個途徑單元為參考不斷更新主軸坐標，實現結構形狀和位移的逐步更新，故其具有二階分析的特點。在考慮結構的材料非線性時，彈塑性材料的應力應變曲線見圖7。

　　向量式有限元法分析和文獻[11]格構柱豎直加載方向的載荷位移全過程曲線見圖8。2條曲線總體上趨勢一致;在位移0～3.5 mm段2條曲線吻合較好，在位移約3.5 mm處曲線的極值點，即結構的極限載荷處，二者誤差僅為1.8%;越過此極值點后，當位移達5.0 mm時發生二次失穩;在結構的主要承載桿件屈曲破壞后，格構柱的穩定承載能力逐漸減弱直至喪失。

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