摘 要：該文針對(duì)帶界面的橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題，先采用拉格朗日方法推導(dǎo)出該最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性條件，然后運(yùn)用浸入有限元和變分離散相結(jié)合的方法得到離散的最優(yōu)性條件并給出離散最優(yōu)性條件的兩種優(yōu)化算法。對(duì)控制無(wú)約束的情況，離散系統(tǒng)是對(duì)稱(chēng)非正定的方程組，采用塊對(duì)角預(yù)處理MINRES算法求解。對(duì)控制帶約束的情形，采用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法求解非線性非光滑的算子方程。最后給出數(shù)值例子說(shuō)明方法的有效性.

　　關(guān)鍵詞：橢圓最優(yōu)控制 浸入有限元 不動(dòng)點(diǎn)迭代 變分離散

　　偏微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題是一個(gè)非常活躍的研究分支，在實(shí)際工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如飛機(jī)的最優(yōu)型設(shè)計(jì)、大氣污染控制、大型柔性結(jié)構(gòu)的波動(dòng)控制等許多方面都需要借助最優(yōu)控制模型來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上是控制變量受約束的無(wú)窮維最優(yōu)控制問(wèn)題。其精確解很難通過(guò)解析的方式求出來(lái)，因此研究其數(shù)值近似求解方法顯得尤為重要. 這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)是最優(yōu)控制問(wèn)題中的控制變量受到偏微分方程的約束， 數(shù)值求解需要結(jié)合偏微分方程的離散方法和優(yōu)化算法。目前數(shù)值求解最優(yōu)控制問(wèn)題的思路有兩種：一種是先優(yōu)化后離散，另外一種是先離散后優(yōu)化，該文采用的是后者。

　　對(duì)橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題的研究，已經(jīng)涌現(xiàn)出了許多的研究成果[1-3]，與這些成果不同的是，該文考慮了更加復(fù)雜的情況，也就是區(qū)域帶有界面. 由于界面的存在，傳統(tǒng)的有限元方法得不到最優(yōu)精度，因此該文采用浸入有限元方法[4]。針對(duì)離散后的最優(yōu)性條件，該文考慮了兩種情況：一種是帶約束，一種是不帶約束，分別給出了優(yōu)化的算法。對(duì)控制無(wú)約束的情況，離散系統(tǒng)是對(duì)稱(chēng)非正定的方程組，采用塊對(duì)角預(yù)處理MINRES算法求解。對(duì)控制帶約束的情形，采用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法求解非線性非光滑的算子方程。數(shù)值例子驗(yàn)證了數(shù)值優(yōu)化算法是有效的。

　　1 問(wèn)題模型和最優(yōu)性條件

　　考慮最優(yōu)控制問(wèn)題。

　　(1)

　　對(duì)所有的滿足橢圓界面問(wèn)題

　　-?.(β(x)?y(x))=u(x)Ω/Γ內(nèi)

　　上

　　弱形式：最優(yōu)控制問(wèn)題(P)：

　　滿足狀態(tài)方程的約束以及控制約束。

　　問(wèn)題(P)存在唯一的最優(yōu)控制、狀態(tài)和伴隨態(tài)滿足狀態(tài)方程：

　　伴隨方程：

　　和變分不等式：

　　另外，變分不等式等價(jià)于投影方程：這里代表在區(qū)間[ua，ub]上的投影。 狀態(tài)方程、伴隨方程和變分不等式共同0組成了問(wèn)題(P)的最優(yōu)性條件，即原問(wèn)題(P)等價(jià)于最優(yōu)性條件。

　　橢圓界面最優(yōu)控制問(wèn)題的優(yōu)化算法

　　接下來(lái)進(jìn)行數(shù)值離散，由于界面的存在，為了避免離散精度的損失，采用浸入有限元[5]進(jìn)行離散，再結(jié)合變分離散[6]可得到離散后的最優(yōu)化問(wèn)題如下：

　　問(wèn)題()：對(duì)所有受控于(為浸入界面有限元空間[4])，且控制滿足約束條件ua≤u≤ub類(lèi)似于問(wèn)題(P)，問(wèn)題()具有唯一最優(yōu)解：控制，相應(yīng)的狀態(tài) 和伴隨態(tài)分別滿足狀態(tài)方程：

　　伴隨方程：

　　和變分不等式：

　　且變分不等式等價(jià)于投影方程. 通過(guò)轉(zhuǎn)化，要求問(wèn)題()的解，只需求解上面3個(gè)方程，即狀態(tài)方程、伴隨方程和投影方程。

　　2 優(yōu)化算法

　　在這一節(jié)，我們給出求解有限維最優(yōu)控制問(wèn)題()最優(yōu)解的優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。

　　在控制無(wú)約束情況，投影方程變成，它的向量形式是。因此，我們得到下面的大型線性方程組：

　　這個(gè)方程組是對(duì)稱(chēng)但是非定的， 因此我們用MINRES方法求解它。為了得到較好的收斂性， 我們先采用了一個(gè)塊對(duì)角的預(yù)處理子[7]， 即：

　　在的情況(帶控制約束的情況)， 問(wèn)題()的最優(yōu)性條件可以寫(xiě)成關(guān)于控制的非光滑算子方程然后采用不動(dòng)點(diǎn)迭代算法求解這個(gè)非光滑且非線性方程。

　　算法步驟如下。

　　(1)給定初始值

　　(2)通過(guò)求解， 得到。

　　(3)通過(guò)求解得， 到。

　　(4)通過(guò)投影方程得到， 其中。

　　(5)如果|u0-u1|≤1.0×10-6，那么令， 否則u0=u1令并重復(fù)步驟2。

　　在步驟2，經(jīng)過(guò)若干次迭代后不再屬于原空間，因此方程作為右端項(xiàng)是不再有效的。有些單元被控制可行集的邊界切割成多個(gè)小的單元，函數(shù)在這些單元上是分片線性的。為了計(jì)算右端項(xiàng)的積分， 我們把單元按照可行集邊界分割成多個(gè)子單元，然后在子單元上分別進(jìn)行數(shù)值積分。上面算法在α足夠大的時(shí)候是收斂的。

　　3 數(shù)值算例

　　算例1。考慮界面是是以原點(diǎn)為中心半徑的圓，在這個(gè)例子中， 我們選擇，和。在這個(gè)例子中我們構(gòu)造了精確的最優(yōu)解。數(shù)值解誤差估計(jì)的結(jié)果如下圖所示，從圖1可以看出該文的離散方法和優(yōu)化方法得到的誤差(實(shí)線)比用傳統(tǒng)有限元誤差(虛線)收斂要快。本文的優(yōu)化數(shù)值方法是有效的。

　　算例2。把算法應(yīng)用到一個(gè)復(fù)雜的五角星界面問(wèn)題上， 這個(gè)例子是復(fù)合材料上穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題上， 間斷系數(shù)代表不同介質(zhì)材料的導(dǎo)熱系數(shù)函數(shù) 代表外部的熱源。我們需要優(yōu)化的問(wèn)題就是尋找合適的熱源來(lái)控制復(fù)合材料的溫度使得復(fù)合材料上處處都能達(dá)到同樣的理想溫度。如果沒(méi)有界面， 解看起來(lái)像一個(gè)梯形棱柱， 它的底部滿足偏微分方程的齊次邊界條件。當(dāng)時(shí)， 狀態(tài)的解在界面外趨于平緩， 這是因?yàn)椋?反之亦然。解的數(shù)值模擬如圖2所示。

　　參考文獻(xiàn)

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　　[2] Xu Y， Chen X. Optimized Schwarz Methods for the Optimal Control of Systems Governed by Elliptic Partial Differential Equations[J].Journal of entific Computing，2019，79(2)：1182-1213.

　　[3] 蘇夢(mèng)雅.橢圓偏微分方程分布與Neumann邊界控制約束問(wèn)題的有限體積元方法[D].南京師范大學(xué)， 2019.

　　[4] 張倩.幾類(lèi)PDE約束最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法研究[D].南京師范大學(xué)，2016.

　　[5] Guo R， Lin T. An immersed finite element method for elliptic interface problems in three dimensions[J]. Journal of Computational Physics， 2020(414)：109478.

　　[6] Tang Y， Hua Y. Convergence and superconvergence of variational discretization for parabolic bilinear optimization problems[J]. Journal of Inequalities and Applications，2019(1)：1-13.

　　[7] Salahuddin S. On Convergence Rate of a Splitting Operator Method for Variational Inclusions[J]. Advances in Nonlinear Variational Inequalities， 2018，21(1)：30-39.[1] 2

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